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{{Clr}}
==Exercice 1==
Déterminer les limites suivantes :
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln( x)}</math>
{{Solution|contenu=Comme <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math>}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}</math> ▼
{{Solution|contenu=
*Quand <math>\lim_{x\to+\infty}</math>, <math>\frac x{\ln(x)}x=1\left/\frac{\ln x}x\right.\to1\left/0^+\right.=+\infty</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0</math> ▼* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}{x^2)}=0\times0=0</math>}}
{{Solution|contenu= Soit <math>x\in\R</math>▼* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}</math> ▼* DoncQuand <math> \lim_{x\to+\infty }</math>, <math>\frac { x ^2}{\ln(x ^2)} +3=\frac x{ 2\ln ( x )} \to\frac12\times+\ frac1{\ln(x)}infty=+\infty</math> }}.▼}}
▲* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln ( x )}{x^2}</math>
{{Solution|contenu=
DoncQuand <math> \lim_{x\to+\infty }</math>, <math>\frac{\ln ( x )}{ \sqrt x ^2}=\ lim_{X\to+\infty}frac1x\frac{ 2\ln (X) x} Xx=0^+\times0^+=0^+</math> }}.▼}}
▲* <math>\lim_{x\to+\infty}\ frac1x=0frac{\ln x}{\sqrt x}</math>
{{Solution|contenu=
*Quand <math> \lim_{x\to+\infty }</math>, <math>y:=\ ln(sqrt x )=\to+\infty</math> donc▼
On a <math>\frac {\ln x }{\sqrt x}=\frac{\ln( xy^2)} y= 2\frac{\ sqrtln Xy} {y\ ln(X)}to2\times0^+=0^+</math> .▼}}
▲* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{ \ln(x )^2+3x+1}{\ sqrtln x}</math>
{{Solution|contenu=
SoitQuand <math>x\ into+\ Rinfty</math> :,▼
<math>\frac{x^2+3x+1}{\ln x}=\frac{1+\frac3x+\frac1{x^2}}{\frac{\ln x}{x^2}}\to\frac1{0^+}=+\infty</math>.
▲Soit <math>x\in\R</math>:
}}
:On pose <math>X=\sqrt x</math>.
* <math>\beginlim_{alignx\to+\infty}(\ln x-x)</math>
\frac{\ln(x)}{\sqrt x}&=\frac{\ln(X^2)}X\\
&=\frac{2\ln(X)}X\\
\end{align}</math>
▲Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}=\lim_{X\to+\infty}\frac{2\ln(X)}X=0^+</math>}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}</math>
▲{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>
On pose <math>X=x^2</math>.
▲On a <math>\frac x{\ln(x^2)}=\frac{\sqrt X}{\ln(X)}</math>
Comme <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty</math>}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}</math>
{{Solution|contenu=
*Quand <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math> donc, <math>\lim_{ln x-x=x\to+left(\infty}frac{\fracln {x^2}{x-1\lnright)\to+\infty(x0-1)}=+-\infty</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0</math>
▲* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln(x)}+3\frac x{\ln(x)}+\frac1{\ln(x)}=+\infty</math>}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\ln(x)-x=\ln(x)\left(1-\frac x{\ln(x)}\right)</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math>
▲* <math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)=-\infty</math>}}
==Exercice 2==
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