Fonction logarithme/Exercices/Croissances comparées

Exercice 1

Déterminer les limites suivantes :

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln x}}$

Solution

Quand $x\to +\infty$, ${\frac {x}{\ln(x)}}=1\left/{\frac {\ln x}{x}}\right.\to 1\left/0^{+}\right.=+\infty$.

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln(x^{2})}}$

Solution

Quand $x\to +\infty$, ${\frac {x}{\ln(x^{2})}}={\frac {x}{2\ln x}}\to {\frac {1}{2}}\times +\infty =+\infty$.

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}+3x+1}{\ln x}}$

Solution

Quand $x\to +\infty$, ${\frac {x^{2}+3x+1}{\ln x}}>{\frac {x^{2}}{\ln x}}\to {\frac {1}{0^{+}}}=+\infty$ .

 

• $\lim _{x\to +\infty }(\ln x-x)$

Solution

Quand $x\to +\infty$, $\ln x-x=x\left({\frac {\ln x}{x}}-1\right)\to +\infty (0-1)=-\infty$.

 

Exercice 2

Déterminer les limites suivantes.

• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{2}\ln(x)$

Solution

Quand $x\to 0^{+}$, $x^{2}\ln(x)=x\times x\ln x\to 0^{+}\times 0^{-}=0^{-}$.

 

• $\lim _{x\to 0^{+}}{\sqrt {x}}\ln(x)$

Solution

Quand $x\to 0^{+}$, $y:={\sqrt {x}}\to 0^{+}$ donc ${\sqrt {x}}\ln(x)=y\ln(y^{2})=2y\ln y\to 2\times 0^{-}=0^{-}$.

 

• $\lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {1}{x}}+\ln x\right)$

Solution

Quand $x\to 0^{+}$, ${\frac {1}{x}}+\ln x={\frac {1}{x}}\left(1+x\ln x\right)\to +\infty \left(1+0\right)=+\infty$.

 

Exercice 3

On se propose de démontrer que pour tout réel $\alpha >0$, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{\alpha }}}=0$, de deux façons, dont la première s'appuie sur le cas particulier $\alpha =1$ démontré en cours et la deuxième est directe.

1. Déduire la propriété pour tout réel $\alpha >0$ du cas particulier $\alpha =1$, par changement de variable.
2. Pour $\beta ,x>0$, on pose $f_{\beta }(x)={\frac {\ln x}{x^{\beta }}}$.
   • Montrer que $f_{\beta }$ est décroissante (strictement) sur une certaine demi-droite $\left]K,+\infty \right[$.
   • En déduire que $f_{\beta }$ admet en $+\infty$ une limite finie.
   • Conclure en appliquant cela à $\beta =\alpha /2$.

Solution

1. Quand $x\to +\infty$, $y:=x^{\alpha }\to +\infty$ donc ${\frac {\ln x}{x^{\alpha }}}={\frac {\ln \left(y^{1/\alpha }\right)}{y}}={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\ln y}{y}}\to {\frac {1}{\alpha }}\times 0=0$.
2. • $f_{\beta }'(x)=x^{-\beta -1}\left(1-\beta \ln x\right)$ est négatif pour $x$ suffisamment grand, puisque $\lim _{x\to +\infty }\left(1-\beta \ln x\right)=-\infty$.
   • $f_{\beta }$ est décroissante et minorée (par 0) sur $\left]K,+\infty \right[$ donc admet en $+\infty$ une limite finie $\ell$.
   • Quand $x\to +\infty$, ${\frac {\ln x}{x^{\alpha }}}={\frac {1}{x^{\alpha /2}}}f_{\alpha /2}(x)\to 0\times \ell =0$.