« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions
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→Exercice 3-2 : transfert (+mef) d'un exo de Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence |
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Ligne 63 :
On retrouve ainsi que <math>\sum\frac{(-1)^n}{n^2-1}</math> converge, et l'on obtient de plus :
:<math>\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2-1}=\frac14</math>.
}}
== Exercice 3-3==
Calculer <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}</math>.
{{Solution
|contenu=
L'astuce repose, comme dans les deux exercices précédents, sur la décomposition en éléments simples.
:<math>\frac1{X(X+1)}=\frac1X-\frac1{X+1}</math>
et donc, par téléscopage :
:<math>\sum_{n=1}^N\frac1{n(n+1)}=\sum_{n=1}^N\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1-\frac1{N+1}</math>,
si bien que
<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}=1</math>.
}}
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