Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle
Exercice 3-1
modifierQuestion 1
modifierSoient une suite réelle de limite nulle et trois réels de somme nulle. On pose
- .
- Étudier la suite des sommes partielles de la série puis calculer .
- Retrouver ce résultat à l'aide du produit de Cauchy.
Solution
-
- donc .
- .
- Le produit de Cauchy des séries et , où
- , , et ,
- est donc avec
- et .
- Puisque converge vers et converge absolument vers , converge vers donc
- converge vers .
- Le produit de Cauchy des séries et , où
Question 2
modifierEn admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que
- , en déduire que la série converge et déterminer sa somme.
Solution
D'après la question 1 appliquée à et ,
- .
Question 3
modifierRetrouver le résultat précédent en utilisant la formule d'Euler : avec , vue dans l'exercice sur la série harmonique.
Solution
Or .
Donc . Autrement dit : la série converge, et sa somme est égale à .
Exercice 3-2
modifierMontrer que la série converge et calculer .
Solution
La série est absolument convergente .
- donc quand ,
On retrouve ainsi que converge, et l'on obtient de plus :
- .
Exercice 3-3
modifierCalculer .
Solution
. C'est un cas particulier de l'exercice 1-1.