Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle

Fraction rationnelle
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Exercices no3
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Introduction et Produit de Cauchy

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Série harmonique
Exo suiv. :Comparaison série-intégrale
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Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle
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Exercice 3-1 Modifier

Question 1 Modifier

Soient   une suite réelle de limite nulle et   trois réels de somme nulle. On pose

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}} .
  1. Étudier la suite des sommes partielles de la série   puis calculer  .
  2. Retrouver ce résultat à l'aide du produit de Cauchy.

Question 2 Modifier

En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que

 , en déduire que la série   converge et déterminer sa somme.

Question 3 Modifier

Retrouver le résultat précédent en utilisant la formule d'Euler :   avec  , vue dans l'exercice sur la série harmonique.

Exercice 3-2 Modifier

Montrer que la série   converge et calculer  .

Exercice 3-3 Modifier

Calculer  .