« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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Ligne 255 :
#La matrice jacobienne de <math>F</math> au point <math>(x,y)</math> est <math>\begin{pmatrix}-\sin x&-\cos y\\\cos x&\sin y\end{pmatrix}</math> donc <math>\|\mathrm dF_{(x,y)}(u,v)\|^2=\|(-u\sin x-v\cos y,u\cos x+v\sin y)\|^2=(-u\sin x-v\cos y)^2+(u\cos x+v\sin y)^2=u^2+v^2+2uv\sin(x+y)\le2(u^2+v^2)</math>.
#D'après l'inégalité des accroissements finis, <math>\frac12F</math> est <math>\frac\sqrt22</math>-lipschitzienne. On conclut grâce au [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|théorème du point fixe de Picard-Banach]].
}}
==Exercice 13==
Déterminer les fonctions dérivables <math>f:\R\to\R</math> telles que <math>\forall(x,y)\in\R^2\quad f(x+y)=f(x+f(y))</math>.
{{Solution|contenu=
En dérivant cette équation fonctionnelle par rapport à <math>x</math> et à <math>y</math>, on trouve :
:<math>\forall(x,y)\in\R^2\quad f'(x+f(y))=f'(x+y)=f'(x+f(y))f'(y)</math>.
Si <math>f</math> n'est pas constante, il existe <math>t</math> tel que <math>f'(t)\ne0</math> et l'on a alors :
:<math>\forall y\in\R\quad f'(y)=1</math>
donc
:<math>f(x)=x+C</math>, avec <math>C=f(0)=f(f(0))=2C</math> donc <math>C=0</math>.
Les seules solutions possibles sont donc les fonctions constantes et l'application identité.
Réciproquement, ces fonctions sont bien solutions.
}}
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