Utilisateur:RM77/Exos
Maths, exercices corrigés
modifierLogique élémentaire
modifier- Soit tq . Mq l'une au moins de ces fonctions est constante.
- Soit tq est croissante et est strictement décroissante. Mq f est strictement décroissante.
- Montrer que si surjectives alors surjective.
- Montrer que si injective alors injective.
- Montrer que si injectives alors injective.
- Montrer que si surjective, alors surjective.
Correction Exo 1 : voir Implication et équivalence/Exercices/Contraposées
On suppose que f n’est pas strictement décroissante.
- .
- est croissante, donc
- Donc
- Or, est strictement décroissante, donc , ce qui est absurde.
f est strictement décroissante.
Correction Exo 3 (avec complément d'énoncé) : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 3
Niveau 12, pour se mettre en condition
modifier- Trouver trois entiers non nuls (non nécessairement distincts) tels que :
- .
- Déterminer tous les entiers tels qu'il existe entiers non nuls (non nécessairement distincts) vérifiant :
- .
Correction : voir Arithmétique, Exercice 12-5
Niveau 12.5, fonctions usuelles
modifier- Soit la fonction définie par .
- Déterminer l’ensemble de définition de .
- Expliquer pourquoi on peut réduire l'étude de à .
- Déterminer les limites de aux bornes de .
- Étudier les variations de .
- Résoudre l'inéquation : .
- Déterminer .
- Calculer .
- Df est l'union des intervalles de la forme In = ]-π/2 + 2kπ, +π/2 + 2kπ [ avec k entier relatif ;
- La fonction est périodique et se reproduit à l'identique sur chacun des In, donc en particulier sur I0 = I ;
- moins l'infini (limite de ln en 0) ;
- Pour tout x dans I, |cos(x)| <=1 donc ln(cos(x))<=0, donc la fonction est négative ou nulle. De plus, ln est croissante sur R, cos est croissante sur la partie négative de I, décroissante sur sa partie positive. Ainsi : f croît de moins l'infini (en x = -π/2) à 0 (en x = 0, tangente hoizontale) puis décroît jusqu'à moins l'infini (en x = +π/2). On obtient les variations de f en reproduisant ces variations sur tous les In.
Correction Exo 2 : voir Fonction exponentielle/Exercices/Fonction racine n-ième#Exercice 1
Réponse Exo 3 : (voir Fonction exponentielle/Croissances comparées)
Soit
Donc :
Finalement
Niveau 13 : divisibilité
modifier- Mq
- Trouver les entiers tq soit premier.
Correction Exo 1 : voir Arithmétique, Exercice 2-9
Correction Exo 2 : voir Arithmétique, Exercice 12-4
Niveau 13, fonctions trigonométriques réciproques
modifier- Résoudre
- Résoudre
- Résoudre
La solution de (E) est alors .
Correction Exo 2 : voir (de même) Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Résolution d'équations
Soit
On pose et
L'ensemble des solutions de (S) est alors .
Niveau 12.5, géométrie 2D
modifier- Soit ABC un triangle équilatéral et M un point à l'intérieur de ABC. Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés de ABC de dépend pas de M.
- Soient, dans le plan, un parallélogramme ABDC et un point P. La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC) en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H. Montrer que les droites (EH), (FG) et (AC) sont concourantes ou parallèles.
Correction Exo 1 : voir Wikipédia : Théorème de Viviani
Correction Exo 2 : voir Vecteurs et repérage/Exercices/Parallélogramme
Niveau 13, arcs paramétrés
modifier- → Ensemble de définition, étude des asymptotes, directions asymptotiques.
- → étude de
Correction Exo 1 : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 4
Niveau 13, équa diffs et analyse
modifier- Résoudre
- Cours : Redémontrer le théorème suivant Toute fonction admettant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
- Soit continue en 0 telle que . Mq f est constante.
- Soit . Mq f est de classe et tracer sa courbe représentative.
- Soit P un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Mq si les racines de P sont toutes réelles et simples, alors il en est de même pour P'. (??? énoncé peut être incomplet)
-
- Soit . Étudier la suite des sinus itérés de a définie par
- En admettant que , mq la suite est convergente et donner sa limite.
L'équation homogène associée à (E) est
Solution particulière : Variation de la constante :
Restent à étudier les intervalles de validité et les recollements
Correction Exo 2 : voir Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre
Soit .
f est continue en 0 donc , donc .
- Commentaire de Sharayanan (d · c · b · s) : mmh... pas tout à fait convaincu de cette affaire ! La première étape notamment... sauf si on corrige un tout petit détail (et là, ça marche )
- C'est moche un clavier qui fourche. C'est vrai que x c’est mieux Xzapro4 5 février 2008 à 07:40 (UTC)
- Soit x un réel, alors f(x) = f(x/2) = ... = f(x/2n) pour tout entier naturel n (nul ou pas, d'ailleurs) par une récurrence triviale. Ainsi, par caractérisation séquentielle de la limite, f étant continue en 0, f(0) = lim en 0 de f(x/2n) = f(x). Conclusion, f est constante. Poil à la menthe. Sharayanan (blabla) 4 février 2008 à 19:01 (UTC)
On a sans problème . Le souci vient de la régularité en 0.
Soit :
Donc f' a une limite finie en 0, donc
Le résultat de la première question est un classique (l'énoncé est complet). Ça doit se démontrer par récurrence. En voici une démonstration que je pense complète :
- Pour plus de simplicité, notons p la fonction polynôme associée à P et n = deg(P). Alors p est, au moins, de classe C1 sur l’ensemble des réels.
- L'hypothèse n ≥ 2 a pour conséquence l’existence d'au moins deux zéros de p. Soit alors a1 et a2 deux zéros consécutifs de p. La restriction de p à l'intervalle est encore C1 et . On applique donc le théorème de Rolle : il existe un réel b dans l'intervalle ouvert tel que p’(b) = 0. En particulier, b n’est pas racine de P donc est nécessairement racine simple de P’.
- Enfin, on a n - 1 intervalles de la forme précédente, d'où autant de points d'annulation de p’. Il ne saurait y en avoir plus, car deg(P’) = n - 1 ≥ 1.
Conclusion : nous avons montré que, lorsque P est un polynôme à coefficients réels, de degré supérieur ou égal à 2, dont les racines sont toutes réelles et simples, alors les racines de P’ sont toutes réelles et simples.
Correction Exo 6 : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7
Niveau 14 : dérivées
modifier- Donner la dérivée n-ième de
- Déterminer les fonctions dérivables tq .
- Soit continue sur [0,1] et dérivable en 0. On pose .
- On pose . Déterminer
- Mq :
- Mq (utiliser les ) puis en déduire
- Application : déterminer
Correction Exo 1 : voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité
Correction Exo 2 : voir Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité
1.
2. Soit
- On remarque que
- Donc
- Donc, par l'inégalité triangulaire
- D'où le résultat.
Niveau 14 : convexité
modifier- Mq
- Soit . Mq f convexe pour x>1, et en déduire .
- Démontrer Si g convexe, f convexe et croissante, alors convexe.
- Soient des réels positifs. Mq
Correction Exos 1 et 2 : voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité#Exercice 2
Inégalité de Jensen appliqué à ln (concave). ou plus simplement une inégalité de concavité obtenue en partant de la définition (la courbe est au dessus de toute ligne joignant deux de ses points).
Si f et g sont 2 fois dérivables : grâce aux hypothèses de l'énoncé Sinon... c’est moins marrant
est convexe et
Donc
ie
D'où le résultat
Niveau 14 : anneaux
modifier- Anneau booléen. Soit A un anneau tq
- Mq
- En déduire que A est commutatif.
- A est un anneau tq . Montrer :
- que a est inversible d'inverse 2b
- Soit A un anneau et l’ensemble des éléments inversibles de A. Mq
- est un anneau commutatif. On note
- Mq
- Soit la lci définie par . Mq est un anneau commutatif unitaire.
- Soit l'une des racines complexes du polynôme (qu’il est inutile de calculer explicitement). On désique par l’ensemble des nombres complexes de la forme où .
- Mq est un sous anneau de
- Calculer et
- Mq
- Mq
- Mq l'élément est inversible dans ssi
- Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq
- Mq l'égalité précédente n'a pas de solution tq
- En déduire les éléments inversibles de
Donc
2. Soit
Donc . Or, d’après la question 1,
Donc , donc A est commutatif.on note (1) la première info, (2) la seconde.
- a × (1) : a²b + aba = a donc a²b = a - aba
D'autre part,
- (1) × a : aba + ba² = a donc ba² = a - aba
Ainsi, a²b = ba².
Sommons les deux équations précédentes :
- a²b + ba² = 2a - 2aba = a (d'après 2)
donc 2aba = a.
Pour la dernière, ça semble découler de la précédente, mais je vois pas comment le faire proprement (et j’ai pas tellement envie de chercher ).
- Attention : la manipulation qui suit est réservée au brouillon ! Dans le cas général, plusieurs éléments écrits dans les lignes qui suivent n'ont aucun sens, mais cette manipulation formelle a le bon goût de fournir une idée du résultat.
Soit tel que et .
- Soit tel que .
Donc est l'inverse de , ce qui assure que .
- On peut montrer de même que, .
Finalement
Correction Exos 4 et 5 (généralisé) : voir (de même) Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices
Niveau 14 : corps
modifier- Soit tq , et Mq est un corps pour les lois usuelles et ×.
- Soit un corps commutatif. Pour , on définit dans deux lci et par : .
- Mq est un anneau commutatif.
- On pose . Mq est un corps ssi
- Soit K un corps. Soit tq et . Mq :
Correction Exos 1 et 2 : voir Corps (mathématiques)/Exercices/Exemple de corps
Notons (1) et (2) les deux infos de l'énoncé.
Alors (2) : 1/a + 1/b = 1 = (a + b)/(ab) = 1/ab (d'après 1) donc ab = 1. De même, 1/a + 1/b = 1/b + 1/a = 1 = (b + a)/(ba) =1/ba donc ba = 1.
Faux car on ne peut pas réduire ainsi au même dénominateur avant de savoir que a et b commutent.
a × (1) : a² + ab = a or ab = 1 donc a² + 1 = a.
(a²+1)² = a² = a^4 + 2a² + 1 donc a^4 + a² + 1 = 0. (3)
(3) × a² : a^6 + a^4 + a² = 0 or d’après (3), a^4 + a² = -1, donc a^6 = 1.
Plus simplement : dès qu'on sait que , on sait exprimer toutes les puissances de comme combinaisons linéaires de et .
Physique
modifierNiveau 12.5, circuit RC parallèle
modifierOn charge un condensateur de 1 µF sous une tension de 10 V, puis on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance d'entrée R (en supposant le condensateur parfait : Rfuite= ).
- Déterminer R, sachant qu'après 2 minutes, le voltmètre affiche une ddp de 2.3 V.
- On constate que la résistance R est du même ordre de grandeur que la résistance de fuite du condensateur sous 10 V et, 2 minutes plus tard, on branche le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. On mesure alors une ddp de 7.9 V. Déterminer la résistance de fuite Rfuite du condensateur et la résistance RV du voltmètre.
Correction & remarques
modifier1. On suppose le condensateur linéaire et parfait, de capacité C = 1 µF constante (tout cela… n’est pas dit). Chargé à l'instant On note V la tension aux bornes du condensateur et du voltmètre (un dessin, absent, clarifierait tout cela).
En appliquant la méthode des nœuds (ou n’importe quelle méthode d'ailleurs) on montre que la tension V vérifie une bête équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants :
dont les solutions sont des exponentielles décroissantes de temps caractéristique τ = RC. On a ainsi :
avec V0 la tension du condensateur à l'origine (ici, 10 V). Notons maintenant V1 la tension mesurée après un temps Δt. On a :
donc :
d'où :
soit encore :
Le résultat recherché est finalement :
Ce qui donne une constante de temps τ = 81 s.
2. Alors là, on revient carrément sur les hypothèses de l'énoncé ! Il n'est plus question d'une résistance de fuite infinie, ce qui rend le tout encore un peu plus obscur. Voici mon interprétation des choses : puisque le voltmètre est branché très brièvement (il est dit « un court instant », dont on peut supputer qu’il est court devant RC), le courant qui passe par le voltmètre est négligeable et on n'en tient pas compte. Ainsi, la différence de potentiel mesurée correspond uniquement à la décharge du condensateur (fuite), de sorte que l'équation différentielle vérifiée par V est analogue à celle de la question 1 :
Si bien que la résistance de fuite est donnée par une relation similaire :
On vérifie notamment que cette résistance est du même ordre de grandeur que l'impédance d'entrée du voltmètre.
Maintenant, on peut rendre le tout un peu plus intéressant… Exemple, à la fin (ou au début) de l'exo, on peut expliquer que : les mémoires RAM (DRAM, SDRAM etc.) utilisent des condensateurs pour stocker temporairement des données. Seulement, aussi grande que soit leur résistance de fuite, il n’est pas possible de conserver l'information très longtemps. En pratique, on rafraîchit ces mémoires régulièrement, ce qui explique notamment qu'une fois l'ordinateur éteint (ce rafraîchissement ne se faisant plus) la mémoire RAM s'efface. Au bout de l'exo, on se rend compte que la période de rafraîchissement est en effet assez courte (moins de 2 minutes) malgré des condensateurs plutôt corrects (Rfuite > 1MΩ). Par exemple. Sharayanan (blabla) 18 février 2008