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## Faire de même pour <math>Card(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)</math>.
## Pour tout entier <math>k</math> tq <math>1\le k\le n</math>, on note : <math>a_k = \sum_{1\le i_1<i_2<...<i_k\le n} Card(A_{i_1}\cap A_{i_2} \cap ...\cap A_{i_k})</math> où la somme porte sur tous les ''k''-uplets <math>(i_1,i_2,...,i_k)</math> d'entiers tq : <math>1\le i_1<i_2<...<i_k\le n</math>. Mq <math>Card \bigcup_{i=1}^n A_i = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k</math>.
# On note <math>ES_{p,n}</math> etle nombre de surjections d'un ensemble <math>F</math> deux ensembles finis de cardinaux respectifs ''n'' età ''p'' avecéléments <math>1\levers n\leun p</math>,ensemble <math>\mathcal S(F,E)</math> l’ensemble des surjectionsà ''fn'' de <math>F</math> vers <math>E</math>éléments, etavec <math>1\mathcal S_n^p</math> le cardinal de <math>n\mathcalle S(F,E)p</math>.
## Déterminer <math>\mathcal S_1^S_{p,1}</math>, <math>\mathcal S_2^S_{p,2}</math> et <math>\mathcal S_p^S_{p,3}</math>.
## Mq <math>\binom n1\mathcal S_1^n1S_{p ,1}+ \binom n2\mathcal S_2^n2S_{p ,2}+ \binom n3\mathcal S_3^n3S_{p ,3}+ ... \dots+ \binom nn\mathcal S_n^nnS_{p ,n}= n^p</math>. On pourra pour cela classer les applications ''<math>f''</math> de <math>F</math> vers <math>E</math> suivant le cardinal de <math>f(F)</math>.
## Mq <math>\mathcal S_n^S_{p ,n}= n(\mathcal S_n^S_{p-1,n} + \mathcal S_{np-1}^{p,n-1})</math>. On pourra pour cela choisir un élément ''a'' de <math>F</math> et étudier les images <math>f(a) \mbox{ et } f(F-\left setminus\{a\right \})</math> par ''<math>f''</math>. En déduire la valeur de <math>\mathcal S_n^S_{n+1,n} \mbox{ et } \mathcal S_n^S_{n+2,n}</math>.
## En utilisant la question 1.3, mq :
##: <math>\mathcal S_n^S_{p ,n}= n^p -\binom n1(n-1)^p +\binom n2(n-2)^p -\binom n3(n-3)^p +...\dots+(-1)^{n-1}\binom n{n-1}</math>.
## Rédiger un programme Maple renvoyant <math>\mathcal S_n^S_{p,n}</math> pour des valeurs données de ''n'' et ''p''. Calculer <math>\mathcal S_5^S_{10,5}</math>.
## Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des <math>\mathcal S_n^S_{p,n}</math> pour <math>0\le n\le p\le q</math> où l'entier ''q'' est donné. Calculer la valeur de <math>\mathcal S_n^S_{p,n}</math> pour <math>0\le n\le p\le 5</math>. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.
## Donner le nombre de ''n''-uplets <math>(A_1, A_2,...\dots,A_n)</math> de parties de <math>F</math> réalisant une ''[[Application (mathématiques)/Famille#Recouvrement, partition''|partition]] de <math>F</math> en ''n'' parties i-e tq : aucun <math>A_i</math> n'est vide, la réunion des <math>A_i</math> est <math>F</math>, et les <math>A_i</math> sont deux à deux disjoints.
{{Solution|contenu=
#Voir [[Formule du crible]].
=== Alors... quelques suggestions ===
#
1. Faire un dessin, identifier les intersections, utiliser la formule de Grassmann.
##{{...}}
##Voir [[Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des surjections]].
2. Pareil.
##Voir [[Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-7]].
##Voir [[Formule du crible/Dénombrement des surjections]].
3. Je subodore une démonstration par récurrence.
##{{...}}
##{{...}}
Je comprend pas la partie 2. Ou ptet que je suis pas assez réveillé. En me donnant un exemple ptet, mais sinon je saisis pas le sens de l'énoncé. [[User:Sharayanan|Sharayanan]] <sub>([[User Talk:Sharayanan|blabla]])</sub> 9 décembre 2007
##<math>S_{p,n}</math> (parce qu'on compte les ''n''-uplets, et non pas les partitions elles-mêmes, ce qui donnerait <math>S_{p,n}/n!</math>).
}}
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