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« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions

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→‎Applications : oups : plus exact, car le lien démontre seulement que n!(e-u_n)<e/(n+1), mais c'est largement suffisant
→‎Applications : Preuve d'irrationalité de e mieux placée dans Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e car on y prouve là-bas que \ell=e, ainsi que d'autres façons d'obtenir cet encadrement
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Voyons maintenant des exemples classiques d'applications des suites adjacentes.
 
#La première application va nous permettre de montrer que le nombre <math>\mathrm e</math> est irrationnel. Plus exactement, on va seulement :redémontrer que la suite <math>(u_n)</math> définie par
##::<math>\forall n\in\N\quad u_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}</math>▼
##redémontrer que la suite <math>(u_n)</math> définie par
#:converge et que sa limite <math>\ell</math> vérifie
▲##::<math>\forall n\in\N\quad u_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}</math>
##:converge et que sa limite :<math>\forall n\in\N^*\quad 0<n!\,(\ell-u_n)<1</math> vérifie
##:(dans [[Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e]], on a démontré non seulementdémontre cela, maisdont leon faitdéduit que cette limite <math>\ell</math> est égaleirrationnelle, auet nombrel'on démontre par ailleurs qu'elle est égale à {{nobr|<math>\mathrm e</math>) ;}}.▼
##::<math>\forall n\in\N^*\quad 0<n!\,(\ell-u_n)<1</math>▼
#:Il suffit de vérifier que les deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont adjacentes, la suite <math>(v_n)</math> étant définie par :
▲##:(dans [[Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e]], on a démontré non seulement cela, mais le fait que cette limite <math>\ell</math> est égale au nombre {{nobr|<math>\mathrm e</math>) ;}}
▲##::<math>\forall n\in\N^*\quad 0<v_n=u_n+\frac1{n.n!\,(\ell-u_n)<1}</math>.
##déduire de cet encadrement que <math>\ell\notin\Q</math>.
#*Pour démontrer le premier point:Manifestement, il suffit de vérifier que les deux suites <math>(u_n)</math> est strictement croissante et <math>(v_n)-u_n \to 0</math> sont; adjacentes,montrons laalors suiteque <math>(v_n)</math> étantest définie pardécroissante : pour tout entier <math>n>0</math>,
#*::<math>\forall begin{align}v_{n\in\N^*\quad +1}-v_n &=u_{n+1}-u_n+\frac1{(n+1).(n+1)!}</math>-\frac1{n.n!}
#*:Manifestement, <math>(u_n)</math> est strictement croissante et <math>v_n-u_n \to 0</math> ; montrons alors que <math>(v_n)</math> est décroissante : pour tout entier <math>n>0</math>,
#*::<math>\begin{align}v_{n+1}-v_n &=u_{n+1}-u_n+\frac1{(n+1).(n+1)!}-\frac1{n.n!}
\\&=\frac1{(n+1)!}+\frac1{(n+1).(n+1)!}-\frac1{n.n!}
\\&=\frac{(n+1)n+n-(n+1)^2}{n(n+1).(n+1)!}
\\&=\frac{-1}{n(n+1).(n+1)!}<0.\end{align}</math>
#:Ainsi, <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont bien adjacentes et le premier point est démontré.
#*Montrons alors que leur limite commune <math>\ell</math> est irrationnelle. Il est usuel, pour un montrer qu'un nombre est irrationnel, de raisonner par l'absurde, et c’est précisément ce que nous allons faire ici.
#:Supposons donc que <math>\ell\in\Q</math>, c'est-à-dire qu'il existe <math>(p,q)\in\Z\times\N^*</math> tel que <math>\ell=\frac pq</math>.
#:On a <math>u_q=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}</math>, et l'on en déduit, en réduisant au même dénominateur, que <math>q!\,u_q\in\Z</math>.
#:Or en utilisant le premier point, on a :
#::<math>\left]0,1\right[\ni q!\,(\ell-u_q)=q!\,\frac pq-q!\,u_q=p.(q-1)!-q!\,u_q</math>,
#:ce qui est impossible puisque <math>p.(q-1)!-q!\,u_q\in\Z</math>. On a donc montré <math>\ell\notin \Q</math>.
#Pour la seconde application, on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.
#:Soit <math>a\in \R</math>. On définit les deux suites suivantes :
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