Soit <math>f:\R^2\to\R</math> une fonction différentiable telle que <math>\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0</math>. Montrer qu'il existe une fonction dérivable <math>\varphi:\R\to\R</math> telle que <math>\forall(x,y)\in \R^2\quad f(x,y)=\varphi(y-x)</math>.
{{Solution|contenu=
Effectuons le changement de variables <math>u=y+x,v=y-x</math> et posons <math>g(u,v)=f(x,y)=f\left(\frac{u-v}2,\frac{u+v}2\right)</math>.
<math>\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0\Leftrightarrow\frac{\partial g}{\partial u}=0\Leftrightarrow g(u,v)=\varphi(v)\Leftrightarrow f(x,y)=\varphi(y-x)</math>, pour une fonction dérivable <math>\varphi:\R\to\R</math>.
}}
Voir aussi : [[../Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq#Exercice 7|Continuité et différentiabilité de fonctions de <math>\R^p</math> dans <math>\R^q</math>, Exercice 7]].
