« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
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(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.)
}}
==Exercice 4-3==
Soit <math>P=\sum_{i=0}^na_iX^i</math> un polynôme à coefficients entiers. Soit <math>\frac pq</math> un racine rationnelle de <math>P</math>, écrite sous forme irréductible. Montrer que <math>p\mid a_0</math> et <math>q\mid a_n</math>. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
{{Solution|contenu=
<math>0=q^nP(p/q)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n</math> donc :
*<math>p\mid-p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\dots+a_1q^{n-1})=a_0q^n</math> et
*<math>q\mid-q(a_{n-1}p^{n-1}+\dots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1})=a_np^n</math>.
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le [[Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|lemme de Gauss]], on en déduit :
:<math>p</math> est premier avec <math>q^n</math> et divise <math>a_0q^n</math>, donc il divise <math>a_0</math>.
De même :
:<math>q</math> est premier avec <math>p^n</math> et divise <math>a_np^n</math>, donc il divise <math>a_n</math>.
Si de plus <math>a_n=1</math>, alors <math>q=1</math>.
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