« Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Page créée avec « {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 5 | précédent = ../Topologie/ | suivant = Sommaire | niveau = 16 }} {{Wikipédia|Théorème de Banach-Steinhaus}} ==Exercice 5-1== On définit le produit de Cauchy <math>a*b</math> de deux suites <math>a</math> et <math>b</math> de nombres complexes par : <math>(a*b)_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j</math>. On sait (théorème de Mertens) que si <math>\... » |
→Exercice 5-1 : +1 |
||
Ligne 11 :
{{Solution|contenu=
Sur l'espace de Banach <math>C(\N\cup\{\infty\})</math> des suites convergentes (fermé dans <math>\ell^\infty</math>), les formes linéaires <math>L_n:B\mapsto\sum_{i+j\le n}a_i(B_j-B_{j-1})=\sum_{i+j=n}a_iB_j</math> (avec par convention <math>B_{-1}=0</math>) sont continues et <math>|\!|\!|L_n|\!|\!|=\sum_{i\le n}|a_i|</math> et l'ensemble des <math>B</math> tels que <math>\sup_n|L_n(B)|<\infty</math> est <math>C(\N\cup\{\infty\})</math> tout entier, [[Topologie générale/Propriété de Baire|non maigre]]. Par conséquent (th. de Banach-Steinhaus) <math>\|a\|_1=\sup_n|\!|\!|L_n|\!|\!|<\infty</math>.
}}
==Exercice 5-2==
Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :
#l'espace de départ est complet ;
#les applications considérées sont continues ;
#les applications considérées sont linéaires.
{{Solution|contenu=
#Sur l'espace des suites nulles à partir d'un certain rang (dont le complété pour la norme sup est l'espace <math>c_0</math> des suites de limite nulle), la suite de formes linéaires continues <math>L_n:x\mapsto\sum_{k<n}x_k</math> converge simplement mais <math>|\!|\!|L_n|\!|\!|=n\to+\infty</math>.<br>Autre exemple : on munit un e.v. de base <math>(e_j)_{j\in\N^*}</math> d'une norme valant <math>1</math> sur les <math>e_j</math> et l'on pose <math>L_n(e_j)=je_j</math> si <math>j\le n</math> et <math>0</math> sinon.
#Prendre un seul opérateur non continu.
#Il faut donner un sens à la question. On peut chercher des applications <math>f_n:E\to\R</math> continues et bornées sur la sphère <math>S</math> ou la boule unité <math>B</math> d'un Banach <math>E</math>, mais telles que <math>f_n\to f</math> simplement avec <math>f</math> non continue et/ou non bornée sur <math>S</math>. Il suffit de définir les <math>f_n</math> sur <math>S</math> (on les étend facilement continûment à <math>E</math>, de façon bornée sur <math>B</math>, et même nulles au voisinage de <math>0</math>).
#*Si l'on veut (sur <math>S</math>) <math>f</math> bornée mais non continue, c'est facile (penser à <math>x^n</math> sur <math>[0,1]</math>, à dupliquer en miroir de <math>1</math> à <math>2</math>).
#*Si l'on veut <math>f</math> non continue et non bornée, il suffit de la définir sur le cercle unité de <math>\R^2</math> par <math>\forall\theta\in[0,2\pi[~f(\mathrm e^{\mathrm i\theta})=\frac1{2\pi-\theta}</math> (et de prendre <math>f_n</math> qui coïncide avec <math>f</math> sur <math>[0,2\pi-1/n]</math> puis affine jusqu'à <math>2\pi</math>).
#*Si l'on veut <math>f</math> continue mais non bornée, il faut <math>E</math> de dimension infinie. On peut partir d'une application linéaire continue de norme <math>1</math> non atteinte, par exemple <math>T:\ell^1(\N^*)\to\R,x\mapsto\sum(1-1/n)x_n</math> : <math>|\!|\!|T|\!|\!|=1</math> non atteint, car si <math>\|x\|_1=1</math> et <math>x_n\ne0</math> alors <math>|T(x)|\le\sum_{k\ne n}|x_k|+(1-1/n)|x_n|<1</math>. Puis on compose par un homéomorphisme entre <math>]-1,1[</math> et <math>\R</math>, pour préserver la continuité mais obtenir une application <math>f</math> non bornée. On l'approche facilement par des fonctions continues bornées en la composant par l'application qui remplace <math>x</math> par <math>nx/|x|</math> lorsque <math>|x|>n</math>.
}}
| |||