Espaces de Banach/Exercices/Topologie

Topologie
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Exercices no4
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Théorème de Banach-Steinhaus
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Espaces de Banach/Exercices/Topologie
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Exercice 4-1Modifier

Soient   un espace métrique,   un espace de Banach et   un nombre réel. Notons   l'espace vectoriel des fonctions  -höldériennes de   dans  .

  1. Pour  , on pose  . Montrer que les normes   sur   sont équivalentes lorsque a décrit  , et que   est complet pour elles.
  2. En déduire que l'espace   des fonctions  -höldériennes bornées de   dans   est complet pour la norme  .
  3. Si   est borné, montrer que   (l'espace des fonctions continues bornées) et que l'injection linéaire canonique est continue lorsqu'on munit   de la topologie de la convergence uniforme.
  4. Soit   un ouvert non vide de  . En considérant les fonctions   pour tout  , montrer que   n'est pas séparable.

Exercice 4-2Modifier

Soit   l'espace vectoriel des fonctions de classe C1 sur  .

  1. On munit   de la norme  . Montrer que pour cette norme, la suite   définie par   converge vers  , et en déduire que   n'est pas un espace de Banach.
  2. On munit   de la norme  . Montrer que   est un espace de Banach.