Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus

Théorème de Banach-Steinhaus
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Exercices no5
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Topologie
Exo suiv. :Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
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Exercice 5-1Modifier

On définit le produit de Cauchy   de deux suites   et   de nombres complexes par :  . On sait (théorème de Mertens) que si   alors, pour toute série convergente  , la série   converge. Démontrer la réciproque.

Exercice 5-2Modifier

Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :

  1. l'espace de départ est complet ;
  2. les applications considérées sont continues ;
  3. les applications considérées sont linéaires.

Exercice 5-3Modifier

Soit   l'espace des applications continues  -périodiques de   dans  , muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction  , la  -ième somme partielle   de la série de Fourier est la convolée par le noyau de Dirichlet :

 .

Pour   fixé, on note   la norme de la forme linéaire  . Montrer que :

  1.   ;
  2.   ;
  3. il existe dans   une fonction dont la série de Fourier au point   diverge ;
  4. Dans  , l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en   diverge est même dense.

Exercice 5-4Modifier

Soient   l'espace de Banach des fonctions continues sur   muni de la norme uniforme  , et   l'espace de Banach des suites (indexées par  ) absolument sommables muni de la norme   définie par  . Pour tout  , on note   la suite des coefficients de Fourier de  , définis par  .

Pour tout  , on note  .

  1. Montrer que   muni de la norme   est un espace de Banach.
  2. On dit que   est un ensemble de Sidon si  . Montrer qu'alors, il existe une constante   telle que pour tout  ,  .
    Indication : on pourra introduire la suite d'applications   définies par   si   et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.

Exercice 5-5Modifier

Soit   une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :

(P)  .

On pose  . Ainsi,   est une application linéaire de   dans lui-même.

  1. Donner un exemple de fonction   qui ne vérifie pas (P).
  2. Montrer que si   vérifie (P) alors   est continue. (On pourra introduire les fonctions bornées   et les opérateurs  ).