« Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes » : différence entre les versions
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→Exercice 1-8 : sol |
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Ligne 167 :
#:(ou par récurrence grâce à l'identité du parallélogramme, qui est le cas <math>n=2</math>). Pour <math>n=1</math> ou <math>0</math>, la formule est tautologique.
#On sait déjà que tous les espaces <math>\ell^p</math> (pour <math>1\le p\le\infty</math>) sont
#*isomorphes en tant qu'e.v. car <math>{\rm dim}(\ell^p)={\rm card}(\ell^p)={\rm card}(\R)</math> (cf. [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-1 ]]) et
#*si <math>p\ne2</math>, non (isométriquement) isomorphes à <math>\ell^2</math> en tant qu'e.v.n. (car ne vérifient pas l'identité du parallélogramme :<br>par exemple pour <math>x=\delta_0:=(1,0,0,\ldots)</math> et <math>y=\delta_1:=(0,1,0,0,\ldots)</math>, <math>\|x+y\|_p^2+\|x-y\|_p^2=2^{1+\frac2p}\ne2^{1+1}=2(\|x\|_p^2+\|y\|_p^2)</math>).
#:La question est donc de montrer que pour <math>p\ne2</math>, <math>\ell^p</math> n'est même pas isomorphe à <math>\ell^2</math> par une bijection linéaire <math>T:\ell^p\to\ell^2</math> telle que <math>T</math> et <math>T^{-1}</math> soient continues.
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