Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes

Dans tous les exercices, K = $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$.

Exercice 1-1 : normes sur K

Montrer que les normes sur K sont de la forme $\forall x\in K\quad \|x\|=a|x|$ où $a>0$ et $|\cdot |$ désigne la valeur absolue (K = $\mathbb {R}$) ou le module (K = $\mathbb {C}$).

Solution

Tout d'abord, il est clair que les fonctions proposées définissent bien des normes (propriétés classiques de la valeur absolue et du module).

Soit $\|\cdot \|$ une norme sur K.

Par définition, $\forall x\in K\quad \|x\|=\|x.1\|=|x|\|1\|$.

On a donc le résultat en posant $a=\|1\|>0$.

 

Exercice 1-2 : normes usuelles sur Kⁿ

Rappelons les normes usuelles sur Kⁿ données dans le cours en tant qu'exemple :

• pour $p\in \left[1,+\infty \right[$ : $\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}$ ;
• $\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)$.

1. Représenter graphiquement les boules unité de $\mathbb {R} ^{2}$ muni respectivement des normes $\|\cdot \|_{1},\quad \|\cdot \|_{2}\quad {\text{et}}\quad \|\cdot \|_{\infty }$.
2. Montrer que ces normes sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales dans les inégalités.
3. Montrer plus généralement que les normes $\|\cdot \|_{1},\quad \|\cdot \|_{2}\quad {\text{et}}\quad \|\cdot \|_{\infty }$ sur Kⁿ sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales.

Solution

1. 

   Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.
2. La figure montre que $\|(x,y)\|_{1}\geq \|(x,y)\|_{2}\geq \|(x,y)\|_{\infty }$, avec égalités si $\{|x|,|y|\}=\{0,1\}$, et que $\|(x,y)\|_{\infty }\geq {\frac {1}{2}}\|(x,y)\|_{1}$, avec égalité si $|x|=|y|=1$.
   Il est très facile (cf. question suivante) de redémontrer algébriquement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).
   Pour la comparaison entre $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty }$, on a même trouvé les constantes optimales : $\|(x,y)\|_{\infty }\leq \|(x,y)\|_{1}\leq 2\|(x,y)\|_{\infty }$. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : $\|(x,y)\|_{\infty }\leq \|(x,y)\|_{2}\leq {\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{\infty }$ et $\|(x,y)\|_{2}\leq \|(x,y)\|_{1}\leq {\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{2}$.
3. Soit $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}$.
   • Montrons tout d'abord que les normes $\|\cdot \|_{\infty }$ et $\|\cdot \|_{1}$ sont équivalentes.
     On a : $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}\|x\|_{\infty }=n\|x\|_{\infty }$
     et comme il existe $i\in \{1,\ldots ,n\}$ tel que $\|x\|_{\infty }=|x_{i}|$, on a $\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}$.
     Ces inégalités sont optimales. On le vérifie en prenant $x=(1,1,\ldots ,1)$ pour la première et $x=(1,0,\ldots ,0)$ pour la deuxième.
   • Montrons maintenant que les normes $\|\cdot \|_{\infty }$ et $\|\cdot \|_{2}$ sont équivalentes. Soit $y=(x_{1}^{2},\ldots ,y_{n}^{2})$. Alors, $\|x\|_{2}^{2}=\|y\|_{1}$ et $\|x\|_{\infty }^{2}=\|y\|_{\infty }$ donc d'après ce qui précède, $\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }$ et ces inégalités sont optimales à l'aide des mêmes exemples.
   • Il en résulte que $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ sont équivalentes mais il reste à déterminer pour elles les constantes optimales.
     On a, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}1}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$, soit $\|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}$.
     On a : $\|x\|_{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)^{2}=\|x\|_{1}^{2}$ donc $\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}$.
     Les mêmes exemples montrent que les inégalités sont optimales.

   Plus généralement, $1\leq r\leq p\leq \infty \Rightarrow \|\cdot \|_{p}\leq \|\cdot \|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|\cdot \|_{p}$, la seconde inégalité se déduisant de l'inégalité de Hölder.

 

Exercice 1-3 : quelques normes sur les polynômes

1. Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace $\mathbb {R} [X]$ des polynômes réels :
   • $P\mapsto \|P\|_{1}=\int _{0}^{1}|P(t)|\;\mathrm {d} t$ ;
   • $P\mapsto |P(0)|+\|P'\|_{1}$ ;
   • $P\mapsto \|P\|_{\infty }=\sup\{|P(t)|\mid t\in [0,1]\}$.
2. Soient $x_{0},\dots ,x_{n}$, $n+1$ nombres réels distincts. Montrer que pour tout $p\in \left[1,+\infty \right]$, l'application suivante est une norme sur le sous-espace $\mathbb {R} _{n}[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ :

   $P\mapsto \|\left(P(x_{0}),\dots ,P(x_{n})\right)\|_{p}$, où $\|\cdot \|_{p}$ est la norme $\ell ^{p}$ sur $\mathbb {R} ^{n+1}$.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, il existe une constante $C_{n}$ (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :

   $\forall P\in \mathbb {R} _{n}[X]\quad \|P\|_{\infty }\leq C_{n}\|P\|_{1}$.

4. Est-ce encore vrai sur $\mathbb {R} [X]$ ? (On pourra considérer la suite des polynômes $X^{n}$.)

Solution

1. • $\|\cdot \|_{1}$ est même une norme sur l'espace des fonctions intégrables de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb {R}$, dont $\mathbb {R} [X]$ s'identifie à un sous-espace.
   • $P\mapsto |P(0)|+\|P'\|_{1}$ est une semi-norme (c'est-à-dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si $|P(0)|+\|P'\|_{1}=0$ alors $P(0)=0$ et $P'=0$ donc $P=P(0)=0$.
   • $\|\cdot \|_{\infty }$ est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb {R}$. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
2. C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si $P\in \mathbb {R} _{n}[X]$ a $n+1$ racines distinctes alors $P=0$.
3. Sur $\mathbb {R} _{n}[X]$, toutes les normes sont équivalentes.
4. Non car $\|X^{n}\|_{\infty }=1$ tandis que $\|X^{n}\|_{1}={\frac {1}{n+1}}$.

 

Exercice 1-4 : norme et produit scalaire

L'objectif de cet exercice est d'étudier le lien entre norme et produit scalaire. On considère donc $\left(E,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (on se restreint ici au cas réel pour simplifier).

1. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\forall x,y\in E\quad \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$ (regarder le produit scalaire $\langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle$ pour $\lambda \in \mathbb {R}$ et choisir une valeur de $\lambda$ particulière).
2. Vérifier que l'application :
   $\qquad {\begin{array}{ccc}\|\cdot \|:&E\to F\\&x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}\end{array}}$
   définit une norme sur $E$.
   Cet exemple constitue l'un des exemples classiques de norme à connaître.
3. Montrer que cette norme vérifie l'égalité, dite du parallélogramme : $\forall x,y\in E\quad \|x-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$ et que $\forall x,y\in E\quad \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$.
4. Montrer que la norme $\|\cdot \|_{\infty }$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ n'est pas issue d'un produit scalaire.
5. Nous cherchons maintenant à caractériser les normes provenant d'un produit scalaire, et nous allons voir que ce sont exactement les normes vérifiant l'égalité du parallélogramme. On considère donc à présent un e.v.n. réel $(E,N)$ tel que $N$ vérifie $\forall x,y\in E\quad N(x-y)^{2}+N(x+y)^{2}=2\left(N(x)^{2}+N(y)^{2}\right)$.
   On pose $\forall x,y\in E\quad B(x,y)={\frac {1}{4}}\left(N(x+y)^{2}-N(x-y)^{2}\right)$. Clairement, $B$ est symétrique et $B(x,x)=N(x)^{2}$. Pour montrer que $B$ est un produit scalaire dont la norme associée est $N$, il reste donc à vérifier que $B$ est linéaire à gauche, ce qui impliquera la bilinéarité. Soit $x,y,z\in E$.
   1. Montrer que $B(x+y,z)=2B(y,z)-B(y-x,z)$.
   2. En déduire que $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$.
   3. Montrer que $\forall r\in \mathbb {Q} \quad B(rx,y)=rB(x,y)$.
   4. Conclure.

Solution

Les questions 1 et 2 sont des rappels de cours sur les espaces euclidiens qu'il est important de savoir démontrer.

1. Voir Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques.
2. Voir Espace préhilbertien réel/Produit scalaire.
3. Calculons simplement en utilisant les propriétés du produit scalaire. Soit $x,\ y\in E$ :

   $\|x-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}=\langle x-y\mid x-y\rangle +\langle x+y\mid x+y\rangle =\langle x\mid x\rangle -2\langle x\mid y\rangle +\langle y\mid y\rangle +\langle x\mid x\rangle +2\langle x\mid y\rangle +\langle y|y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$

4. Considérons les vecteurs $x=(1,0,\cdots ,0)$ et $y=(0,1,0,\cdots ,0)$. On a alors :

   $\|x-y\|_{\infty }^{2}+\|x+y\|_{\infty }^{2}=2$ et $2(\|x\|_{\infty }^{2}+\|y\|_{\infty }^{2})=4$.

   La norme infinie ne peut donc provenir d'un produit scalaire.

5. 1. D'après l'identité du parallélogramme, $N(x+y+z)^{2}=2\left(N(x)^{2}+N(y+z)^{2}\right)-N(y+z-x)^{2}$.
      Cette égalité, jointe à son homologue lorsqu'on remplace $z$ par $-z$, donne :

      $B(x+y,z)={\frac {1}{2}}\left[N(y+z)^{2}-N(y-z)^{2}\right]-{\frac {1}{4}}\left[N(y+z-x)^{2}-N(y-z-x)^{2}\right]=2B(y,z)-B(y-x,z)$.

   2. On en déduit (en intervertissant $x$ et $y$) : $B(x+y,z)=2B(x,z)-B(x-y,z)=2B(x,z)+B(y-x,z)$
      puis (en prenant la moyenne) : $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$.
   3. Une récurrence immédiate utilisant la question précédente montre que $\forall n\in \mathbb {N} \quad B(nx,y)=nB(x,y)$, ce qui — puisque $B(-x,y)=-B(x,y)$ — permet d'affirmer que $\forall n\in \mathbb {Z} \quad B(nx,y)=nB(x,y)$.
      Finalement, soit $r={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ avec $p,\ q$ deux nombres entiers. On a alors $B(rx,y)=rB(x,y)$ car

      $qB(rx,y)=B(qrx,y)=B(px,y)=pB(x,y)=qrB(x,y)$.

   4. L'application $t\mapsto B(tx,y)$ est continue sur $\mathbb {R}$ (par définition de $B$ et continuité de $N$) et coïncide sur $\mathbb {Q}$ avec $t\mapsto tB(x,y)$. Par densité de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$, ces deux applications sont donc égales, ce qui termine de montrer que $B$ est linéaire à gauche.

 

Exercice 1-5 : normes usuelles sur C([a, b], ℝ)

Dans cet exercice, on va s'intéresser aux normes usuelles sur $C([a,b],\mathbb {R} )$ pour $a<b\in \mathbb {R}$, l'espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb {R}$, et les comparer entre elles. En particulier, nous allons voir que ces normes ne sont pas équivalentes.

On considère ainsi les trois normes $\|\cdot \|_{1}$, $\|\cdot \|_{2}$ et $\|\cdot \|_{\infty }$ définies par :

$\|f\|_{1}=\int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t\quad ,\quad \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}\quad {\text{et}}\quad \|f\|_{\infty }=\sup _{t\in [a,b]}|f(t)|$.

1. Vérifier que ces trois applications sont bien des normes.
2. Soit $f\in C([a,b],\mathbb {R} )$. Montrer les deux inégalités suivantes, et montrer qu'elles sont optimales :
   • $\|f\|_{1}\leq {\sqrt {b-a}}\|f\|_{2}$ ;
   • $\|f\|_{2}\leq {\sqrt {b-a}}\|f\|_{\infty }$.
3. Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes entre elles.

Solution

1. Il s'agit essentiellement de vérifications élémentaires, le seul point délicat étant l'inégalité triangulaire pour la norme 2. Nous allons donc uniquement traiter ce cas.

   Soit $f\in C([a,b],\mathbb {R} )$ et $\lambda \in \mathbb {R}$.

   Alors $\|\lambda f\|_{2}={\sqrt {\int _{a}^{b}|\lambda f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}=|\lambda |{\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}=|\lambda |\|f\|_{2}$.

   On a : $\|f\|_{2}=0\Leftrightarrow \int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t=0\Leftrightarrow f^{2}=0\Leftrightarrow f=0$. Ici, la continuité de $f$ est essentielle pour conclure.

   Pour l'inégalité triangulaire, la clef est dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales, ce qui donne :

   ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}|f(t)+g(t)|^{2}\,\mathrm {d} t&\leq \|f\|_{2}^{2}+\|g\|_{2}^{2}+2\int _{a}^{b}|f(t)g(t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq \|f\|_{2}^{2}+\|g\|_{2}^{2}+2\|f\|_{2}\|g\|_{2}\\&\leq \left(\|f\|_{2}+\|g\|_{2}\right)^{2},\end{aligned}}$

   ce qui prouve l'inégalité triangulaire en prenant la racine carrée.

2. • La première des inégalités se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

   $\int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}|f(t)\times 1|\,\mathrm {d} t\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}1\,\mathrm {d} t}}\|f\|_{2}={\sqrt {b-a}}\|f\|_{2}$

   • La seconde se montre en constatant que $\forall t\in [a,b]\quad |f(t)|\leq \|f\|_{\infty }$ par définition de la borne supérieure. On a alors :

   ${\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}\leq \|f\|_{\infty }{\sqrt {\int _{a}^{b}\,\mathrm {d} t}}={\sqrt {b-a}}\|f\|_{\infty }$

   On montre qu'elles sont optimales en prenant la fonction constante égale à 1 sur $[a,b]$.

3. Comme mentionné dans le cours, pour montrer que les normes ne sont pas deux à deux équivalentes, on va construire une suite de fonctions $(f_{n})$ tels que ${\frac {\|f_{n}\|_{\infty }}{\|f_{n}\|_{1}}}\to +\infty$ pour commencer.

   On pose, pour tout $n\in \mathbb {N}$ : $f_{n}:t\mapsto \left({\frac {t-a}{b-a}}\right)^{n}$.

   On trouve alors : $\|f_{n}\|_{\infty }=1,\ \|f_{n}\|_{1}={\frac {b-a}{n+1}},\ {\text{et}}\ \|f_{n}\|_{2}={\sqrt {\frac {b-a}{2n+1}}}$.

   Ceci montre bien que les trois rapports : ${\frac {\|f_{n}\|_{\infty }}{\|f_{n}\|_{1}}},\ {\frac {\|f_{n}\|_{\infty }}{\|f_{n}\|_{2}}},\ {\frac {\|f_{n}\|_{2}}{\|f_{n}\|_{1}}}$ tendent vers $+\infty$, et donc que les trois normes ne sont pas équivalentes.

   Alternativement, on peut utiliser la suite de fonctions $(g_{n})$ définie par :

   $g_{n}(x)={\begin{cases}(b-a)-n(x-a)&{\text{si }}x\in \left[a,a+{\frac {b-a}{n}}\right]\\0&{\text{si }}x\in \left[a+{\frac {b-a}{n}},b\right]\end{cases}}$

   En effet, on trouve alors : $\|g_{n}\|_{\infty }=b-a\ {\text{et}}\ \|g_{n}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\frac {(b-a)^{p+1}}{n(p+1)}}}\,(\forall p\in \left[1,+\infty \right[)$ et l'on conclut de même.

Remarque : l'espace $C([a,b],\mathbb {R} )$ est complet pour la norme $\|~\|_{\infty }$. Son complété pour la norme $\|~\|_{p}\,(\forall p\geq 1)$ est l'espace de Lebesgue $\mathrm {L} ^{p}([a,b])$ et l'on a les inclusions canoniques

$p<q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{q}([a,b])\subsetneq \mathrm {L} ^{p}([a,b])$.

 

Exercice 1-6 : Structure sur l'ensemble des normes

Soit $N_{1},N_{2}$ deux normes sur un $\mathbb {K}$-espace vectoriel $E$ et $\lambda \in \mathbb {R} _{+}^{*}$.

Montrer que $\lambda N_{1}$ et $N_{1}+N_{2}$ sont des normes sur $E$.

Cet exercice prouve que l'ensemble des normes sur un espace vectoriel donné est un cône convexe.

Solution

C'est immédiat pour $\lambda N_{1}$. Montrons-le pour $N_{1}+N_{2}$.

Nous avons déjà remarqué (Exercice 1-3) que la somme de deux semi-normes est une semi-norme.

Enfin, si $(N_{1}+N_{2})(x)=0$ alors $N_{1}(x)=0$ (par exemple) donc $x=0$.

 

Exercice 1-7

Pour $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, on définit $N(x,y)={\underset {t\in \mathbb {R} }{\sup }}{\frac {|x+ty|}{1+t^{2}}}$.

1. Montrer que $N$ est une norme sur $\mathbb {R} ^{2}$.
2. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, $N(x,y)\leq \|(x,y)\|_{2}$.
3. Dessiner la boule unité pour la norme $N$.

Solution

1. Les applications $N_{t}:(x,y)\mapsto {\frac {|x+ty|}{1+t^{2}}}$ (pour $t\in \mathbb {R}$) sont clairement des semi-normes et leur sup $N$ est fini (cf. question suivante), donc $N$ est une semi-norme.
   C'est une norme car de plus, si $N(x,y)=0$ alors $\forall t\in \mathbb {R} \quad N_{t}(x,y)=0$, en particulier $N_{0}(x,y)=0$ et $N_{1}(x,y)=0$, donc $|x|=0$ et $|x+y|=0$, donc $(x,y)=(0,0)$.
2. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb {R} ^{2}$ muni de son produit scalaire canonique, $|x+ty|\leq \|(x,y)\|_{2}\|(1,t)\|_{2}$ donc $N(x,y)\leq {\underset {t\in \mathbb {R} }{\sup }}{\frac {\|(x,y)\|_{2}\|(1,t)\|_{2}}{1+t^{2}}}={\underset {t\in \mathbb {R} }{\sup }}{\frac {\|(x,y)\|_{2}}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\|(x,y)\|_{2}$.
3. $N(x,y)\leq 1\Leftrightarrow \forall t\in \mathbb {R} \quad |x+ty|\leq 1+t^{2}\Leftrightarrow \forall t\in \mathbb {R} \quad x+ty\leq 1+t^{2}{\text{ et }}-x-ty\leq 1+t^{2}$$\Leftrightarrow \forall t\in \mathbb {R} _{+}\quad |x|\leq 1+t^{2}-t|y|\Leftrightarrow |x|\leq 1+(|y|/2)^{2}-(|y|/2)|y|\Leftrightarrow |x|\leq 1-y^{2}/4$
   donc la boule unité pour la norme $N$ est la partie bornée délimitée par les deux arcs de parabole $x=\pm (1-y^{2}/4),\;y\in [-2,2]$. Graphique Google.

 

Exercice 1-8

1. Soit $E$ un espace préhilbertien (réel ou complexe). Montrer l'identité du parallélogramme généralisée :

   $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in E\quad \|x_{1}\|^{2}+\cdots +\|x_{n}\|^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\|\varepsilon _{1}x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}x_{n}\|^{2}$.

2. En déduire que pour $p\neq 2$, ℓ^p et ℓ² ne sont pas isomorphes.

Solution

1. Pour tout $n\geq 2$,

   ${\begin{aligned}\sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\left\|\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{2}&=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}+2\sum _{1\leq i<j\leq n}2^{n-2}\sum _{\varepsilon _{i}=\pm 1}\varepsilon _{i}\underbrace {\sum _{\varepsilon _{j}=\pm 1}\varepsilon _{j}{\rm {Re}}(\langle x_{i},x_{j}\rangle )} _{=0}\\&=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}\end{aligned}}$

   (ou par récurrence grâce à l'identité du parallélogramme, qui est le cas $n=2$). Pour $n=1$ ou $0$, la formule est tautologique.

2. On sait déjà que tous les espaces $\ell ^{p}$ (pour $1\leq p\leq \infty$) sont
   • isomorphes en tant qu'e.v. car ${\rm {dim}}(\ell ^{p})={\rm {card}}(\ell ^{p})={\rm {card}}(\mathbb {R} )$ (cf. Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-1 ) et
   • si $p\neq 2$, non (isométriquement) isomorphes à $\ell ^{2}$ en tant qu'e.v.n. (car ne vérifient pas l'identité du parallélogramme :
     par exemple pour $x=\delta _{0}:=(1,0,0,\ldots )$ et $y=\delta _{1}:=(0,1,0,0,\ldots )$, $\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2^{1+{\frac {2}{p}}}\neq 2^{1+1}=2(\|x\|_{p}^{2}+\|y\|_{p}^{2})$).

   La question est donc de montrer que pour $p\neq 2$, $\ell ^{p}$ n'est même pas isomorphe à $\ell ^{2}$ par une bijection linéaire $T:\ell ^{p}\to \ell ^{2}$ telle que $T$ et $T^{-1}$ soient continues.

   Supposons le contraire, et appliquons aux $x_{i}:=T(\delta _{i})$ l'identité du parallélogramme généralisée.

   Pour chacun des vecteurs $x=T(\delta )$ dont la norme intervient (avec $\delta =\delta _{i}$ donc $\|\delta \|_{p}=1$, ou $\delta =\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\delta _{i}$ donc $\|\delta \|_{p}=n^{1/p}$), on a :

   $\|x\|_{2}\leq \|T\|\|\delta \|_{p}$ et $\|\delta \|_{p}\leq \|T^{-1}\|\|x\|_{2}$.

   On en déduit :

   $2^{n}\|T^{-1}\|^{-2}n^{2/p}\leq \sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\left\|\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|_{2}^{2}=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}^{2}\leq 2^{n}n\|T\|^{2}$

   $2^{n}\|T\|^{2}n^{2/p}\geq \sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\left\|\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|_{2}^{2}=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}^{2}\geq 2^{n}n\|T^{-1}\|^{-2}$

   donc, en posant $C=\|T\|\|T^{-1}\|$ :

   $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{C}}\leq n^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}}\leq C$,

   ce qui (en faisant $n\to \infty$) prouve que ${\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}$ n'est ni $<0$, ni $>0$, donc que $p=2$.

   Pour approfondir, voir Compact de Banach-Mazur.