Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes

Normes
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Exercices no2
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Définitions - Éléments de Topologie

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Applications linéaires continues
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes
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Dans tous les exercices, K = ou .

Exercice 1-1 : normes sur KModifier

Montrer que les normes sur K sont de la forme    et   désigne la valeur absolue (K =  ) ou le module (K =  ).

Exercice 1-2 : normes usuelles sur KnModifier

Rappelons les normes usuelles sur Kn données dans le cours en tant qu'exemple :

  • pour   :   ;
  •  .
  1. Représenter graphiquement les boules unité de   muni respectivement des normes  .
  2. Montrer que ces normes sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales dans les inégalités.
  3. Montrer plus généralement que les normes   sur Kn sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales.

Exercice 1-3 : quelques normes sur les polynômesModifier

  1. Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace   des polynômes réels :
    •   ;
    •   ;
    •  .
  2. Soient  ,   nombres réels distincts. Montrer que pour tout  , l'application suivante est une norme sur le sous-espace   des polynômes de degré au plus   :
     , où   est la norme   sur  .
  3. Montrer que pour tout  , il existe une constante   (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
     .
  4. Est-ce encore vrai sur   ? (On pourra considérer la suite des polynômes  .)

Exercice 1-4 : norme et produit scalaireModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Normes issues d'un produit scalaire ».

L'objectif de cet exercice est d'étudier le lien entre norme et produit scalaire. On considère donc   un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (on se restreint ici au cas réel pour simplifier).

  1. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :   (regarder le produit scalaire   pour   et choisir une valeur de   particulière).
  2. Vérifier que l'application :
     
    définit une norme sur  .
    Cet exemple constitue l'un des exemples classiques de norme à connaître.
  3. Montrer que cette norme vérifie l'égalité, dite du parallélogramme :   et que  .
  4. Montrer que la norme   sur   n'est pas issue d'un produit scalaire.
  5. Nous cherchons maintenant à caractériser les normes provenant d'un produit scalaire, et nous allons voir que ce sont exactement les normes vérifiant l'égalité du parallélogramme. On considère donc à présent un e.v.n. réel   tel que   vérifie  .
    On pose  . Clairement,   est symétrique et  . Pour montrer que   est un produit scalaire dont la norme associée est  , il reste donc à vérifier que   est linéaire à gauche, ce qui impliquera la bilinéarité. Soit  .
    1. Montrer que  .
    2. En déduire que  .
    3. Montrer que  .
    4. Conclure.

Exercice 1-5 : normes usuelles sur C([a, b], ℝ)Modifier

Dans cet exercice, on va s'intéresser aux normes usuelles sur   pour  , l'espace vectoriel des fonctions continues de   dans  , et les comparer entre elles. En particulier, nous allons voir que ces normes ne sont pas équivalentes.

On considère ainsi les trois normes  ,   et   définies par :

 .
  1. Vérifier que ces trois applications sont bien des normes.
  2. Soit  . Montrer les deux inégalités suivantes, et montrer qu'elles sont optimales :
    •   ;
    •  .
  3. Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes entre elles.

Exercice 1-6 : Structure sur l'ensemble des normesModifier

Soit   deux normes sur un  -espace vectoriel   et  .

Montrer que   et   sont des normes sur  .

Cet exercice prouve que l'ensemble des normes sur un espace vectoriel donné est un cône convexe.

Exercice 1-7Modifier

Pour  , on définit  .

  1. Montrer que   est une norme sur  .
  2. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tout  ,  .
  3. Dessiner la boule unité pour la norme  .

Exercice 1-8Modifier

  1. Soit   un espace préhilbertien (réel ou complexe). Montrer l'identité du parallélogramme généralisée :
     .
  2. En déduire que pour  , p et ℓ2 ne sont pas isomorphes.