Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis

Ensembles infinis
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Exercices no1
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chapitre du cours : Rudiments de combinatoire

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Récurrences
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Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis
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Exercice 1-1

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Démontrer que   et   ont la puissance du continu.

On considère les sous-espaces vectoriels suivants (emboîtés) du  -espace vectoriel   des suites réelles :

 ,

  le sous-espace vectoriel des suites de limite nulle et   le sous-espace vectoriel des suites bornées.

  1. Vérifier que pour tout réel  , la suite   définie par   appartient à tous ces sous-espaces vectoriels.
  2. On admettra (ou démontrera, en pensant aux matrices de Vandermonde) que la famille de suites   est libre. En déduire que tous les sous-espaces vectoriels mentionnés sont de dimension au moins  .
  3. En déduire tous ces espaces de suites sont à la fois de dimension et de cardinal  .

Exercice 1-2

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  1. Montrer que si   est un ensemble dénombrable et  , alors   est dénombrable.
  2. En déduire que toute partie cofinie (c'est-à-dire de complémentaire fini) d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Exercice 1-3

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Un ensemble   est dit :

  • infini au sens (faible) usuel s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il n'est équipotent à   pour aucun   ;
  • infini au sens (fort) de Dedekind s'il est équipotent à l'une de ses parties propres, c'est-à-dire à une partie   différente de  .

Bien que ce ne soit pas utile ici, rappelons (cf. cours) qu'avec une version faible de l'axiome du choix, tout ensemble infini au sens usuel contient un ensemble dénombrable. Dans le présent exercice, on ne suppose aucun axiome du choix.

  1. Montrer que tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini au sens usuel.
  2. Montrer que si   contient un ensemble dénombrable alors   est infini au sens de Dedekind. Indication : utiliser la question 1 de l'exercice précédent.
  3. Démontrer la réciproque. Indication : soit   un ensemble équipotent à l'une de ses parties propres,  , via une bijection  , soit  , et soit   la suite définie par récurrence par   ; montrer par descente infinie qu'il n'existe aucun   tel que :  .

Exercice 1-4

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Soit X un ensemble contenant une partie dénombrable et soit N un ensemble fini ou dénombrable. Montrer que XN est équipotent à X.

Exercice 1-5

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On rappelle que l'ensemble   des applications de   dans   est équipotent à  , et que   désigne le sous-ensemble des bijections de   dans  . On note  ,   et   les parties de   constituées respectivement des injections non surjectives, des surjections non injectives et des applications ni injectives, ni surjectives.

  1. Montrer que   et   sont non vides.
  2. Soient   et  . Expliquer rapidement pourquoi  ,   et   sont des injections de   dans (respectivement)  ,   et  . (On rappellera, sans les démontrer, les propriétés utilisées reliant injectivité, surjectivité et composition.)
  3. Pour toute partie   de  , on définit   par : pour tout  ,   et   et pour tout  ,   et  . Montrer que   est bijective, en précisant sa bijection réciproque.
  4. On considère l'application  . Montrer qu'il existe une application   telle que  .
  5. Déduire des questions 4 et 2 que  ,  ,   et   sont équipotents à  .

Exercice 1-6

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Montrer que tout intervalle réel non trivial (c'est-à-dire contenant au moins deux réels) a la puissance du continu.

Exercice 1-7

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On rappelle (pour les questions 2 et 3) que pour tous cardinaux   :

 .

Dans chacune des trois listes suivantes, comparer entre eux les cardinaux des 5 ensembles, par des inégalités strictes ou des égalités.

  1.  .
  2.  .
  3.  .