« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions
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Version du 19 octobre 2021 à 06:33
Exercice 7-1
Soient un espace de Hilbert et un opérateur normal sur , c.-à-d. .
- Montrer que .
- En déduire que est inversible si et seulement s'il existe une constante telle que : pour tout .
Solution
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Exercice 7-2
Soient un espace de Hilbert et un opérateur positif, c.-à-d. : pour tout , .
- Montrer, pour tous , et , que . En déduire que .
- En considérant , montrer que .
- En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que est bijectif pour tout .
Solution
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Exercice 7-3
On rappelle que l'espace de Sobolev est le complété de l'espace préhilbertien (espace des fonctions C∞ à support compact) muni du produit scalaire .
- Montrer qu'il existe un opérateur sur tel que pour tous , .
- Montrer que est autoadjoint et de rang 1.
- Soit . On considère le problème suivant : trouver tel que
En intégrant contre une fonction test , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
. - En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution dans si et seulement si .
Solution
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