Un barrage fermé par un quart de cylindre d'axe vertical et de rayon R est adossé aux 2 parois d'une gorge. L'eau derrière le barrage possède une profondeur h. Calculer la résultante F des forces de pression sur le barrage.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Barrage Statique des fluides/Exercices/Barrage », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Barrage — Schéma
Calculer l'intensité des forces F1 et F2 exercées par le barrage sur les appuis en supposant ces forces tangentes au barrage.
Application numérique : R = 30 m, h = 20 m.
Solution
Attention : le contenu ci-dessous est absolument faux. Il part d'un postulat erroné concernant l’expression de dF, l'élément de surface n'est PAS rdthetadz ! Il faut lire Rdtheta *h et z = Rsin(theta). Pas le temps de refaire le correctif en entier, la méthode reste par contre correcte !
On fait le bilan des forces sur le barrage; on s'appuie sur la modélisation suivante pour la résolution de l'exercice :
Barrage 2 — Schéma
Bilan des forces :
et
force de pression résultante.
Il faut donc exprimer F. La force de pression sur un élément de surface dS de normale n est :
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-\int _{0}^{h}\int _{0}^{\pi \over 2}{\rho _{eau}gzR\cos(\theta )\,{\rm {d}}\theta \,{\rm {d}}z}\\&=\rho _{eau}gR\int _{0}^{h}z{\rm {d}}z\int _{0}^{\pi \over 2}\cos(\theta )\,{\rm {d}}\theta \\&=-\rho _{eau}gR\left[{z^{2} \over 2}\right]_{0}^{h}[\sin(\theta )]_{0}^{\pi \over 2}\\&=-\rho _{eau}gR{h^{2} \over 2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cf0c91917186030e5a74fedf60c3fa0de68301)
