Statique des fluides/Exercices/Paradoxe hydrostatique

1. Calculer les forces de pression exercées par l'eau, supposées incompressible, sur le fond du récipient représenté ci-contre. Calculez la force effective, c'est-à-dire, retranchée de la force exercée par la pression atmosphérique sur le dessous du fond du récipient.

2. Calculez le poids W de l'eau dans le récipient. Où passe la différence ? Justifier votre réponse par un calcul effectif.

3. On laisse maintenant flotter un glaçon de volume V et de poids w sur l'eau. Exprimer en fonction de w le surcroit de force exercée sur le fond du récipient avant que le glaçon ne fonde et après qu’il soit fondu. Connaissez-vous une application concrète de cet effet ?

Paradoxe

Solution

1. Soit $P_{f}$ la pression au fond du récipient et $F_{p}$ les forces de pression exercées par l'eau sur le fond du récipient.

• Par définition :
  $F_{p}=-\int _{S}\,P.{\vec {n}}\ \mathrm {d} S$

Comme ${\vec {n}}$ est orienté vers l’extérieur de la surface, donc vers le bas on a alors :

$F_{p}=P_{f}.S.{\vec {n}}$

Et donc

$F_{p}=(P_{atm}+\rho g(H+h)).S.{\vec {n}}$

AN:

$F_{p}=(1,01325.10^{5}+1000\times 9.81\times (1+0.01))\times 10^{-2}$

Finalement on trouve

$F_{p}=1112.331$ N

• La force effectives $F_{effective}$ vaut $F_{p}=(P_{atm}+\rho g(H+h)).S$ en négligent la pression atmosphèrique.

On a donc

$F_{p}=\rho g(H+h).S$

AN:

$F_{p}=1000\times 9.81\times (1+0.01)\times 10^{-2}$

Ainsi on obtient

$F_{effective}=99.081$ N

2. Soit W le poids de l'eau.

Par définition :

$\rho _{eau}={\frac {Masse_{eau}}{Volume_{eau}}}$

et

$W=Masse_{eau}\times g$

On a donc

$W=\rho g(S.h+s.H)$

AN:

$W=1000\times 9.81\times (10^{-2}\times 0.01+10^{-4}\times 1)$

Finalement

$W=1.962$ N

Cette différence s'explique par le fait que la pression agit dans toutes directions en un point donné, et non uniquement selon sa composante verticale (contrairement à la gravité). Ainsi au final, sur une balance, on aura bien un poids égal au poids de l'eau contenue car la force de pression qui s'exerce sur le fond du récipient, bien que plus élevée que le poids de l'eau se trouve compensée par la force de pression qui s'exerce également sur les côtés du récipient. (C'est de là que vient le "paradoxe".)

3. Soit un glaçon de volume V et de masse w et de hauteur h_{glacon}.

Paradoxe

La pression en A vaut :

$P_{A}=P_{atm}+{w\times h_{glacon} \over V}$

La nouvelle pression au fond vaut alors ( en appliquant la loi fondamentale de l’hydrostatique) :

$P'_{f}=P_{A}+\rho _{eau}\times g(H+h)$

Qui devient

$P'_{f}=P_{atm}+{w\times h_{glacon} \over V}+\rho _{eau}\times g(H+h)$

Or on sait désormais que

$P_{f}=P_{atm}+\rho _{eau}\times g(H+h)$

Donc

$P'_{f}=P_{f}+{w\times h_{glacon} \over V}$

Par conséquent le surcroit de force $\Delta F$ vaut :

$\Delta F=F'_{f}-F_{f}=(P'_{f}-P_{f})\times S$

En remplaçant on trouve

$\Delta F={w\times h_{glacon} \over V\times S}$

AN:

$\Delta F={w\times h_{glacon} \over V}\times 100$