Statique des fluides/Exercices/Manomètre en U

Un manomètre permet de mesurer la pression dans une canalisation contenant un fluide de masse volumique  connue. Le manomètre est constitué de deux ouvertures (en 1 et 2 sur le schéma) et d’un tube long et fin contenant un liquide de masse volumique m. Les points A, B, A’ et B’ sont situés au niveau de l’interface entre les fluides où il apparaît un ménisque de rayon RA et RB. À et B du côté du fluide de masse volumique  et A’ et B’ du côté du liquide de masse volumique m. L’axe vertical défini la hauteur z des différents points. On définit les pressions P1, P2, PA, PB, PA’ et PB’ aux points 1, 2, A, B, A’ et B’.

Manomètre — Schéma

1. Sur quel volume de fluide peut-on appliquer la loi fondamentale de l’hydrostatique ? Pourquoi ?

2. En tenant compte de la tension superficielle, quelles conditions sont-elles nécessaires pour que PA - PA’ = PB - PB’ ?

3. Exprimer (P1 - P2) en fonction de , m, z1, z2, zA et zB et (P1 +  g z1) - (P2+  g z2) en fonction de , m et h = zB - zA.

4. Avec quelle précision peut-on écrire quand  = 1,2 kg m-3 (air), m = 1000 kg m-3 (eau)  = 1000 kg m-3 (eau), m = 1600 kg m-3 (CCl4)  = 1000 kg m-3 (eau), m = 13 590 kg m-3 (mercure). Que peut-on en conclure ?

Solution : 0,12%, 166%, 7,9%

Solution

a) On a, d’après la loi de Pascal,

$\Delta P={2\sigma \over R}$

$P_{a}-P_{a}'=P_{b}-P_{b}'\rightarrow {2\sigma _{a} \over R_{A}}={2\sigma _{B} \over R_{B}}$

Si dans le cadre des mesures, on construit le manomètre de telle sorte que les branches aient le même diamètre, on pourra avoir $R_{A}=R_{B}$.

Il faut aussi avoir les mêmes conditions thermiques, le même état de surface des tubes, etc.

b) On a :

$P_{1}-P_{2}=P_{1}-P_{a}+P_{a}-P_{2}+....$

$=(P_{1}-P_{a})+(P_{a}-P_{a}')+(P_{a}'-P_{B}')+(P_{B}'-P_{B})+(P_{B}-P_{2})$

La loi fondamentale de l'hydrostatique donne:

$P(z_{1})+\rho gz_{1}=P(z_{a})+\rho gz_{A}$

ou

$P(z_{1})-P(z_{A})=\rho g(z_{A}-z_{1})$

equivalent en écriture a:

$P_{1}-P_{a}=\rho g(z_{A}-z_{1})$

On a donc:

$P_{1}-P_{2}=\rho g(z_{A}-z_{1})+(P_{a}-P_{a}')+(P_{B}-P_{B}')+\rho _{m}g(z_{B}-z_{A})+\rho g(z_{2}-z_{B})$

En simplifiant par les deux menisques qui se compense, on trouve:

$P_{1}-P_{2}=g[\rho (z_{2}-z_{1})+(\rho _{m}-\rho )(z_{B}-z_{a})]$

$(P_{1}+\rho gz_{1})-(P_{2}+\rho gz_{2})=g(\rho _{m}-\rho )(z_{B}-z_{A})$

finalement, on peut écrire:

$\Delta P=g(\rho _{m}-\rho )h$

c) On peut écrire :

$\Delta P=\rho _{m}gh$ si $\rho gh<<\rho mg$ ou bien $\rho <<\rho _{m}$

La précision p est :

$P={\rho _{m}gh-(\rho _{m}gh-\rho gh) \over \rho _{m}gh-\rho gh}$

$P={\rho \over \rho _{m}-\rho }$

On trouve p = 0,12%, p=166%, p = 7,9%.

En conclusion, on peut dire que plus la masse volumique du liquide dans le tube est grande, et plus la précision sur la mesure est bonne.