Systèmes du premier ordre/Diagrammes de Bode

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La représentation en diagramme de Bode d'un système du premier ordre est fondamentale car elle permet de modéliser la plupart des systèmes d'ordres supérieurs à coefficients réels. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'une fonction de transfert peut être représentée par un nombre complexe ${\underline {H}}(j\omega )$ qui dépend de la fréquence. Le diagramme de Bode répond à la question de savoir comment varient le module (appelé gain) et la phase de ce nombre complexe en fonction de la fréquence.

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Diagramme asymptotique du gain et de la phase

Nous allons nous intéresser à ce que l’on appelle le diagramme asymptotique dans cette section. Cette notion est abordée un peu plus loin (de manière un peu plus formelle) dans ce cours, mais nous allons commencer par des recettes qui ressemblent plus à de la recette de cuisine.

Pôles et zéros d'une fonction de transfert

Même si, jusqu'à présent, nous nous sommes contentés d'examiner le premier ordre, une fonction de transfert dans le cas général est un quotient de deux polynômes (un au numérateur, l'autre au dénominateur). Une valeur qui annule un polynôme est appelée un zéro. Si ce polynôme est au dénominateur, ses zéros sont appelés pôles.

Diagramme asymptotique du gain

Le diagramme de Bode se trace sur du papier semi-log. C'est l'axe des fréquences (ou pulsations) qui est logarithmique. Il s'agit de l'axe horizontal. La fréquence 0 se trouve à $-\infty$ sur cet axe et la fréquence $+\infty$ à $+\infty$. C'est une propriété de la fonction logarithmique.

L'axe vertical d'un diagramme de Bode représente le gain et a pour unité le décibel. Le gain en dB se calcule, par définition, avec la formule $G_{\rm {dB}}=20~\log(|{\underline {H}}(j\omega )|)$.

Début d’un principe

Principe

Pour tracer le diagramme asymptotique du gain on procède de la façon suivante : on part de la fréquence 0 qui se trouve à $-\infty$ sur notre axe pour se déplacer vers la droite. Le départ se fait à l'horizontal sauf si un pôle ou un zéro est présent à nos côtés auquel cas on applique l'une des deux règles ci-après :

• chaque fois que l’on rencontre un pôle sur la droite la pente de notre asymptote décroit de 20 dB/dec ;
• chaque fois que l’on rencontre un zéro sur la droite la pente de notre asymptote croit de 20 dB/dec.

Fin du principe

Remarque : dB/dec désigne l'unité décibel par décade.

Courbe de gain

Calcul

• Par définition le gain en décibels vaut :

$G_{\mathrm {dB} }=20~\log(|{\underline {H}}(p)|)$

d'où :

$G_{\mathrm {dB} }=20~\log \left(\left|{\frac {K}{1+\tau p}}\right|\right)=20~\log \left({\frac {|K|}{|1+p\tau |}}\right)=20~\log \left({\frac {K}{\sqrt {1+p^{2}\tau ^{2}}}}\right)$.

Représentation asymptotique

Dans le formalisme de Laplace (voir transformée de Laplace), on a $p=j\omega$. On remplace donc dans l'expression.

On constate que :

• $\lim _{\omega \to 0}G_{\mathrm {dB} }(j\omega )=20~\log(K)$ ce qui donne une asymptote horizontale d'ordonnée à l'origine 20.log(K).

De même :

• $\lim _{\omega \to \infty }{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}=\tau \omega$

d'où $\lim _{\omega \to \infty }G_{\mathrm {dB} }(j\omega )=20~\log \left({\frac {K}{\tau }}\right)-20~\log(\omega )$ On a donc une asymptote oblique de pente -20 dB par décade (= -6dB par octave).

L'abscisse correspondant à l'intersection des deux asymptotes est un point particulier appelé pulsation de cassure et vaut $\omega _{0}={\frac {1}{\tau }}$.

Points particuliers

On voit apparaitre un certain nombre de points remarquables bien pratiques pour tracer avec précision:

• la pulsation de cassure en $\omega _{0}={\frac {1}{\tau }}$ se trouve 3 dB en dessous de l'asymptote horizontale ;
• la pulsation un octave avant la cassure $\omega ={\frac {1}{2\tau }}$ qui elle se trouve à 1dB sous l'asymptote horizontale ;
• la pulsation un octave après la cassure $\omega ={\frac {2}{\tau }}$ qui se trouve à 7 dB sous l'asymptote horizontale.

Démonstration

• en $\omega _{0}={\frac {1}{\tau }}$ $A_{d}b=20\log {\frac {K}{\sqrt {1+\tau ^{2}\omega ^{2}}}}=20\log {\frac {K}{\sqrt {2}}}\approx 20\log K-3$

On est donc bien à 3 dB sous l'asymptote horizontale.

• en $\omega ={\frac {1}{2\tau }}$ $A_{d}b=20\log {\frac {K}{\sqrt {1+\tau ^{2}\omega ^{2}}}}=20\log {\frac {K}{\sqrt {1+{\frac {1}{4}}}}}\approx 20\log K-1$

On est donc bien à 1 dB sous l'asymptote horizontale.

• en $\omega ={\frac {2}{\tau }}$ $A_{d}b=20\log {\frac {K}{\sqrt {1+\tau ^{2}\omega ^{2}}}}=20\log {\frac {K}{\sqrt {1+4}}}\approx 20\log K-7$

On est donc bien à 7 dB sous l'asymptote horizontale.

 

Courbe de phase

Par définition également, le déphasage entre l'entrée et la sortie vaut $\varphi =\arg({\underline {H}}(j\omega ))$ Comme précédemment, on constate que :

• $\lim _{\omega \to 0}\arg G_{\mathrm {dB} }(j\omega )=0^{\circ }$ ;
• $\lim _{\omega \to \infty }\arg G_{\mathrm {dB} }(j\omega )=-90^{\circ }$.

Ce qui nous donne les asymptotes. On note de plus que $\arg G_{\mathrm {dB} }(\omega _{0})=-45^{\circ }$.

Représentation graphique

On obtient le tracé suivant :

Diagrammes de Bode de gain et de phase d'un filtre passif de premier ordre (du type circuit RC).

Voir aussi

• Transformée de Laplace dans un autre cours
• Transformée de Laplace dans wikipédia