Systèmes du premier ordre/Diagrammes de Bode

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Diagrammes de Bode
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Chapitre no 2
Leçon : Systèmes du premier ordre
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La représentation en diagramme de Bode d'un système du premier ordre est fondamentale car elle permet de modéliser la plupart des systèmes d'ordres supérieurs à coefficients réels. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'une fonction de transfert peut être représentée par un nombre complexe qui dépend de la fréquence. Le diagramme de Bode répond à la question de savoir comment varient le module (appelé gain) et la phase de ce nombre complexe en fonction de la fréquence.

Diagramme asymptotique du gain et de la phaseModifier

Nous allons nous intéresser à ce que l’on appelle le diagramme asymptotique dans cette section. Cette notion est abordée un peu plus loin (de manière un peu plus formelle) dans ce cours, mais nous allons commencer par des recettes qui ressemblent plus à de la recette de cuisine.

Pôles et zéros d'une fonction de transfertModifier

Même si, jusqu'à présent, nous nous sommes contentés d'examiner le premier ordre, une fonction de transfert dans le cas général est un quotient de deux polynômes (un au numérateur, l'autre au dénominateur). Une valeur qui annule un polynôme est appelée un zéro. Si ce polynôme est au dénominateur, ses zéros sont appelés pôles.

Diagramme asymptotique du gainModifier

Le diagramme de Bode se trace sur du papier semi-log. C'est l'axe des fréquences (ou pulsations) qui est logarithmique. Il s'agit de l'axe horizontal. La fréquence 0 se trouve à   sur cet axe et la fréquence   à  . C'est une propriété de la fonction logarithmique.

L'axe vertical d'un diagramme de Bode représente le gain et a pour unité le décibel. Le gain en dB se calcule, par définition, avec la formule  .

Début d’un principe
Fin du principe

Remarque : dB/dec désigne l'unité décibel par décade.

Diagramme asymptotique de la phaseModifier

Courbe de gainModifier

CalculModifier

  • Par définition le gain en décibels vaut :

 

d'où :

 .

Représentation asymptotiqueModifier

Dans le formalisme de Laplace (voir transformée de Laplace), on a  . On remplace donc dans l'expression.

On constate que :

  •   ce qui donne une asymptote horizontale d'ordonnée à l'origine 20.log(K).

De même :

  •  

d'où   On a donc une asymptote oblique de pente -20 dB par décade (= -6dB par octave).


L'abscisse correspondant à l'intersection des deux asymptotes est un point particulier appelé pulsation de cassure et vaut  .

Points particuliersModifier

On voit apparaitre un certain nombre de points remarquables bien pratiques pour tracer avec précision:

  • la pulsation de cassure en   se trouve 3 dB en dessous de l'asymptote horizontale ;
  • la pulsation un octave avant la cassure   qui elle se trouve à 1dB sous l'asymptote horizontale ;
  • la pulsation un octave après la cassure   qui se trouve à 7 dB sous l'asymptote horizontale.

Courbe de phaseModifier

Par définition également, le déphasage entre l'entrée et la sortie vaut   Comme précédemment, on constate que :

  •   ;
  •  .

Ce qui nous donne les asymptotes. On note de plus que  .

Représentation graphiqueModifier

On obtient le tracé suivant :

 
Diagrammes de Bode de gain et de phase d'un filtre passif de premier ordre (du type circuit RC).

Voir aussiModifier