Systèmes du premier ordre/Généralités

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Représentation complexe de la fonction de transfert

Nous allons rappeler dans cette section les principes de base de la représentation complexe de la fonction de transfert.

À quoi sert une fonction de transfert ?

Une fonction de transfert est un moyen pratique de calcul d'une sortie en fonction d'une entrée. En général les relations entre les deux se fait toujours à l'aide d'une équation différentielle. Ce calcul nécessite donc une résolution d'équation différentielle. Heureusement le calcul à l'aide de nombres complexes peut être utilisé pour éviter cette résolution.

Fonction de transfert complexe

La fonction de transfert complexe nécessite d’abord de définir la représentation complexe d'un signal temporel sinusoïdal.

Représentation complexe d'un signal sinusoïdal

Soit une fonction g(t) du type sinusoïdale :

$g(t)=A.\sin(\omega t+\varphi )$,

On note ${\underline {G}}$ un nombre complexe associé à g(t) égal à:

${\underline {G}}=\ A.e^{j\varphi }.e^{j\omega t}$

• $|{\underline {G}}|$ est égal, au choix, à la valeur efficace de g ou a son amplitude maximum (on choisit cette dernière)
• $arg({\underline {G}})$ est égale à la phase totale de g (incluant le $\omega t$ )

$\ A.e^{j\varphi }$ est appelée amplitude complexe de ${\underline {G}}$ car elle caractérise le signal tandis que le terme $e^{j\omega t}$ est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que $g(t)=Im({\underline {G}})$ dans le cas d'une fonction en sinus sinon $g(t)=Re({\underline {G}})$ dans le cas d'une fonction en cosinus. ${\underline {G}}$ est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de $g(t)$.

Définition

On appellera, dans la suite de ce cours, représentation complexe du signal $g(t)=A.\sin(\omega t+\varphi )$ le nombre complexe ${\underline {G}}=\ A.e^{j\varphi }$, c'est-à-dire son amplitude complexe. À partir de maintenant, il vous faut savoir utiliser cette définition dans les deux sens :

• passage signal temporel à sa représentation complexe
• passage de la représentation complexe vers le signal temporel

Une remarque importante avant de continuer?

Remarque

Avec la définition de notre représentation complexe, nous avons choisi de laisser tomber le terme comportant la fréquence ou plus exactement la pulsation. Il faut cependant avoir à l'esprit que tout calcul utilisant la représentation complexe nécessitera de connaître cette fréquence.

La fonction de transfert complexe

Définition

Quel que soit le système sa fonction de transfert complexe est défini par le quotient : ${\underline {H}}(j\omega )={\frac {{\underline {S}}(j\omega )}{{\underline {E}}(j\omega )}}$

Dans cette formule ${\underline {E}}(j\omega )$ est la représentation complexe de l'entrée temporelle e(t) qui doit être sinusoïdale, et ${\underline {S}}(j\omega )$ est la représentation complexe de la sortie temporelle s(t) qui doit être sinusoïdale.

La fonction de transfert complexe d'un système du premier ordre

Dans le cas simple du premier ordre qui est l’objet de notre étude, elle s'écrit simplement sous la forme :

${\underline {H}}(j\omega )={\frac {K}{1+{\frac {j\omega }{\omega _{0}}}}}$.

Dans cette formule :

• K est appelé le gain statique
• ω est appelé la pulsation et vaut $\omega =2\cdot \pi \cdot f$ si f est la fréquence
• $\omega _{0}$ est une constante qui dépend du système, appelée pulsation de coupure

Rappelons que la fréquence f se mesure en Hertz (Hz) tandis que la pulsation ω se mesure en radian par seconde.

Le gros intérêt de cette écriture est qu’il est possible maintenant de calculer la réponse de ce système du premier ordre à toute excitation (entrée) sinusoïdale à l'aide d'une simple multiplication (complexe quand même).

Donnons maintenant un exemple d'application.

Exemple d’utilisation de la fonction de transfert complexe

Nous allons nous intéresser à un exemple littéral mais suffisamment évocateur pour montrer l’intérêt de cette fonction de transfert complexe. Nous considérons donc un système ayant pour fonction de transfert ${\underline {H}}(j\omega )={\frac {K}{1+{\frac {j\omega }{\omega _{0}}}}}$ pour lequel une entrée $e(t)=A\cdot \sin(\omega _{0}\cdot t+{\frac {\pi }{4}})$ est présente. On vous demande de calculer sa sortie.

Vous remarquez que la fréquence (ou la pulsation) du signal d'entrée n’est pas quelconque : c’est $\omega _{0}$. Il n'emêche que ce genre de calcul peut être réalisé à partir de n’importe quelle fréquence.

Nous allons remplacer $e(t)=A\cdot \sin(\omega _{0}\cdot t+{\frac {\pi }{4}})$ par un nombre complexe ${\underline {E}}(j\omega )=A\exp(j\cdot {\frac {\pi }{4}})$. À partir de la relation : ${\underline {H}}(j\omega )={\frac {{\underline {S}}(j\omega )}{{\underline {E}}(j\omega )}}$ il est facile d'obtenir :

${\underline {S}}(j\omega )={\underline {H}}(j\omega )\cdot {\underline {E}}(j\omega )$

qui est la relation qui permet de passer de la représentation de complexe l'entrée à la représentation complexe de la sortie. Pour ce qui nous intéresse, nous avons bien sûr :

${\underline {S}}(j\omega _{0})={\underline {H}}(j\omega _{0})\cdot {\underline {E}}(j\omega _{0})$

c'est-à-dire la relation précédente pour une pulsation définie $\omega =\omega _{0}$. Un calcul élémentaire nous donne donc :

${\underline {S}}(j\omega _{0})={\underline {H}}(j\omega _{0})\cdot {\underline {E}}(j\omega _{0})={\frac {K}{1+{\frac {j\omega _{0}}{\omega _{0}}}}}\cdot A\exp j(\omega _{0}\cdot t+{\frac {\pi }{4}})={\frac {K}{\sqrt {2}}}\exp(j\omega _{0}t)\cdot A\exp(j\cdot {\frac {\pi }{4}})={\frac {K\cdot A}{\sqrt {2}}}$

Le fait que le résultat soit un nombre réel est exceptionnel. Le principe maintenant est de transformer la représentation complexe de la sortie en représentation temporelle. On procède de la manière suivante :

• la fréquence de la sinusoïde de sortie est égale à la fréquence de la sinusoïde d'entrée soit $\omega _{0}$
• l'amplitude de la sinusoïde de sortie est égale au module de la représentation complexe de la sortie, soit ${\frac {K\cdot A}{\sqrt {2}}}$
• la phase de la sortie est égale à l'argument de la représentation complexe, soit 0 (exceptionnel)

Ainsi on peut écrire : $s(t)={\frac {K\cdot A}{\sqrt {2}}}\cdot \sin(\omega _{0}\cdot t+0)$

Voila, vous avez calculé la sortie sans résoudre d'équation différentielle.

Utilisation de la transformée de Laplace pour la fonction de transfert

Un Système du premier ordre est un système dont la fonction de transfert (FT ou transmittance) peut se mettre sous la forme : (dans cet article, p représente la variable de Laplace (les anglo-saxons la notent plutôt s))

${\underline {H}}(p)={\frac {K}{1+p\tau }}$.

Vous aurez remarqué la très grande similitude avec la représentation complexe. Traditionnellement on utilise plutôt $\tau$ dès que l’on travaille avec la transformée de Laplace alors qu'on a plutôt utilisé $\omega _{0}$ dans la représentation complexe. Il ne s'agit que d'une tradition ! Évidemment la relation entre les deux est : $1/\tau =\omega _{0}$ et $p=j\cdot \omega$

Ainsi une bonne connaissance de la représentation la plus simple (qui de notre point de vue est la représentation complexe) permet facilement de travailler avec la représentation de Laplace qui est plus générale.

Pourquoi la représentation de Laplace est-elle plus générale ?

La représentation de Laplace permet de réaliser le même calcul que précédemment, c'est-à-dire étant donné un entrée sinusoïdale calculer la sortie sinusoïdale. Mais elle permet beaucoup plus. Comme nous le verrons plus tard elle permet de calculer la réponse à toute sorte d'entrée, sinusoïdale ou non.

Mais dans un premier temps apprenez à l’utiliser en remplaçant p par $j\cdot \omega$. L'utilisation dans le cas général sera abordée dans un prochain chapitre.

Un exemple d’utilisation peut être trouvé dans un exercice sur la charge et décharge d'un condensateur.

Voir aussi

• Transformée de Laplace dans de département mathématiques
• Transformée de Laplace en physique dans le département Physique
• Transformée de Laplace dans wikipédia