Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
Image logo représentative de la faculté
Exercices no41
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Représentations complexes des groupes finis, 2
Exo suiv. :Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Problème 1

modifier

Soit G un groupe fini, soit g un élément de G tel que   soit   un  -caractère de G.
Prouver que   est un entier rationnel et que

 

Problème 2

modifier

Soit G un groupe fini, soient   et   deux  -représentations vectorielles irréductibles non équivalentes de G. Désignons par T la représentation   de G. Prouver qu'il existe une fonction centrale   telle que l'endomorphisme   de   ne soit pas une homothétie. (Cela montre que dans le lemme 27 du chapitre théorique, l'hypothèse d'irréductibilité ne peut pas être levée.)
Indication : appliquer le lemme 27 du chapitre théorique aux représentations   et  .