Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

Problème 1

Soit G un groupe fini, soit g un élément de G tel que $g^{2}=1,$ soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G.
Prouver que $\chi (g)$ est un entier rationnel et que

$\chi (g)\equiv \chi (1){\pmod {2}}.$

Solution

Notons d le degré $\chi (1)$ de $\chi .$
L'ordre de g est égal à 2 ou à 1, donc d'après le théorème 9 du chapitre théorique (forme précise), $\chi (g)$ est la somme d'une famille de d racines carrées de l'unité.
Soit donc

(1) $\qquad \chi (g)=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d},$

où chaque $\lambda _{i}$ appartient à la paire {1, -1}. Pour chaque i,

$\lambda _{i}\in \mathbb {Z}$ et $\lambda _{i}\equiv 1{\pmod {2}},$

donc (1) entraîne

$\chi (g)\in \mathbb {Z}$ et $\chi (g)\equiv d{\pmod {2}}.$

Puisque d désigne $\chi (1)$, l'énoncé en résulte.

 

Problème 2

Soit G un groupe fini, soient $T_{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})$ et $T_{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})$ deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles non équivalentes de G. Désignons par T la représentation $T_{1}\oplus T_{2}$ de G. Prouver qu'il existe une fonction centrale $\gamma :G\rightarrow \mathbb {C}$ telle que l'endomorphisme $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ de $V_{1}\oplus V_{2}$ ne soit pas une homothétie. (Cela montre que dans le lemme 27 du chapitre théorique, l'hypothèse d'irréductibilité ne peut pas être levée.)
Indication : appliquer le lemme 27 du chapitre théorique aux représentations $T_{1}$ et $T_{2}$.

Solution

Puisque $T_{1}$ et $T_{2}$ sont irréductibles, les espaces $V_{1}$ et $V_{2}$ sont non nuls, donc nous pouvons choisir $v_{1}$ non nul dans $V_{1}$ et $v_{2}$ non nul dans $V_{2}$.
Soit $\gamma :G\rightarrow \mathbb {C}$ une fonction centrale.
D'après la définition de T,

$(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_{1},v_{2})=(\sum _{g\in G}\gamma (g)T_{1}(g)(v_{1}),\sum _{g\in G}\gamma (g)T_{2}(g)(v_{2})).$

D'après le lemme 27 du chapitre théorique, cela peut s'écrire

$(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_{1},v_{2})=({\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})v_{1},{\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})v_{2}),$

où $\chi _{1}$ désigne le caractère de $T_{1}$ et $\chi _{2}$ le caractère de $T_{2}$. Puisque $v_{1}$ et $v_{2}$ sont non nuls, il en résulte que si la fonction centrale $\gamma$ est telle que ${\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})\neq {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})$, alors $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ n'est pas une homothétie.
Donc pour prouver l'énoncé, il suffit de trouver une fonction centrale $\gamma$ telle que

(thèse 1) $\qquad {\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})\neq {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}}).$

Puisque $T_{1}$ et $T_{2}$ ne sont pas équivalentes, nous avons

$\chi _{1}\neq \chi _{2},$ d'où ${\overline {\chi _{1}}}\neq {\overline {\chi _{2}}}.$

Prenons pour $\gamma$ la fonction (centrale) ${\overline {\chi _{1}}}.$ Alors, d'après les théorèmes 17 et 25 du chapitre théorique,

${\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}({\overline {\chi _{1}}}\vert {\overline {\chi _{1}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}\neq 0$

et

${\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}({\overline {\chi _{1}}}\vert {\overline {\chi _{2}}})=0.$

Nous avons donc prouvé que la fonction centrale $\gamma ={\overline {\chi _{1}}}$ satisfait à la thèse (1), d'où l'énoncé.