Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

Problème 1

On va prouver que si un groupe fini est d'ordre impair, l'ordre de ce groupe et le nombre de classes de conjugaison d'éléments de ce groupe sont congrus entre eux modulo 16. C'est un exemple montrant que la théorie des caractères peut servir à autre chose qu'à elle-même. (La congruence modulo 8 n'est pas difficile à déduire des théorèmes sur les degrés démontrés dans le chapitre théorique, la congruence modulo 16 demande une analyse un peu plus subtile.)

a) Soit G un groupe fini (on ne suppose pas encore que l'ordre de G est impair), soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G, distinct du $\mathbb {C}$-caractère principal de G (application constante de valeur 1). Prouver que

$\sum _{g\in G}\chi (g)=0.$

Indication : appliquer la première relation d'orthogonalité (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1).

Solution

Notons $1_{G}$ le $\mathbb {C}$-caractère principal de G, c'est-à-dire l'application constante de valeur 1 de G dans $\mathbb {C}$. En appliquant la première relation d'orthogonalité aux deux caractères $\chi$ et $1_{G}$, nous trouvons

$(\chi \vert 1_{G})=0,$

autrement dit

$\sum _{g\in G}\chi (g)1_{G}(g^{-1})=0.$

Puisque la fonction $1_{G}$ vaut 1 partout, cela revient à $\sum _{g\in G}\chi (g)=0,$ ce qui est la thèse.

 

b) On ajoute aux hypothèses du point a) que $\chi$ est réel (on entend par là que toutes les valeurs de $\chi$ sont réelles, autrement dit que $\chi ={\overline {\chi }}$). Prouver que

$\sum _{g\in G,g^{2}=1}\chi (g)\equiv 0{\pmod {2}}$ dans l'anneau des entiers algébriques.

Solution

La relation $\sum _{g\in G}\chi (g)=0,$ démontrée au point a), peut s'écrire

(1)$\qquad \sum _{g\in G,g^{2}=1}\chi (g)+\sum _{g\in G,g^{2}\neq 1}\chi (g)=0.$

L'ensemble des éléments g de G tels que $g^{2}\neq 1$ se partitionne en ensembles $\{g,g^{-1}\}$ à deux éléments. Si $g$ et $g^{-1}$ sont les deux éléments d'un de ces ensembles, nous avons (Caractères complexes des groupes finis, 1, théorème 9)

$\chi (g)+\chi (g^{-1})=\chi (g)+{\overline {\chi (g)}}$

d'où, vu l'hypothèse ${\overline {\chi }}=\chi ,$

(2)$\qquad \chi (g)+\chi (g^{-1})=2\chi (g).$

On a vu (Caractères complexes des groupes finis, 1, corollaire 10) que pour tout g dans G, $\chi (g)$ est un entier algébrique, donc, d'après (2),

$\qquad \chi (g)+\chi (g^{-1})\equiv 0{\pmod {2}}$ dans l'anneau des entiers algébrique.

Cela revient à dire que si $E=\{g,g^{-1}\}$ est un des ensembles à deux éléments considérés,

$\sum _{g\in E}\chi (g)$ est divisible par 2 dans l'anneau des entiers algébriques.

En sommant sur les ensembles E, on trouve

$\sum _{g\in G,g^{2}\neq 1}\chi (g)\equiv 0{\pmod {2}}$ dans l'anneau des entiers algébriques.

Donc (1) donne

$\sum _{g\in G,g^{2}=1}\chi (g)\equiv 0{\pmod {2}}$ dans l'anneau des entiers algébriques,

ce qui est la thèse.

 

c) Soit G un groupe fini d'ordre impair. Déduire du point b) que le $\mathbb {C}$-caractère principal de G (application constante de valeur 1) est le seul $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi$ de G tel que $\chi ={\overline {\chi }}.$

Solution

Supposons que, par absurde, il existe un $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi$ de G, distinct du caractère principal, tel que $\chi ={\overline {\chi }}.$
D'après le point b), nous avons

(3)$\qquad \sum _{g\in G,g^{2}=1}\chi (g)\equiv 0{\pmod {2}}$

dans l'anneau des entiers algébriques.
Puisque G est supposé d'ordre impair, il n'a pas d'élément d'ordre 2 (théorème de Lagrange), autrement dit, 1 est le seul élément g de G tel que $g^{2}=1,$ donc (3) peut s'écrire

$\chi (1)\equiv 0{\pmod {2}}$ dans l'anneau des entiers algébriques,

autrement dit

(4)$\qquad \chi (1)/2$ est un entier algébrique.

D'autre part, puisque le degré $\chi (1)$ de $\chi$ est un nombre naturel,

$\chi (1)/2$ est un nombre rationnel.

Joint à (4), cela entraîne (Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 8°) que $\chi (1)/2$ est un entier rationnel, autrement dit que le degré $\chi (1)$ de $\chi$ est pair. Puisque G est supposé d'ordre impair, cela contredit le théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel le degré de tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe. La contradiction obtenue prouve l'énoncé.

 

d) Soit G un groupe fini d'ordre impair. Déduire du point c) que l'ordre de G et le nombre des classes de conjugaison d'éléments de G sont congrus modulo 16. (Indication : le carré d'un nombre naturel impair est congru à 1 modulo 8.)

Solution

Notons k le nombre des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G.
D'après le point c), les caractères irréductibles de G sont tout d'abord le caractère principal $1_{G}$ et ensuite k-1 caractères distincts qu'on peut énumérer

$\chi _{1},{\overline {\chi _{1}}},\ldots ,\chi _{\frac {k-1}{2}},{\overline {\chi _{\frac {k-1}{2}}}}.$

Le degré d'un caractère ${\overline {\chi _{i}}}$ est égal au degré de $\chi _{i}$ (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, théorème 25), donc, d'après un théorème du chapitre théorique,

(5) $\qquad \vert G\vert =1+2d_{1}^{2}+2d_{2}^{2}+\cdots 2d_{\frac {k-1}{2}}^{2}.$

On vérifie facilement que le carré de tout nombre naturel impair est congru à 1 modulo 8, donc le double du carré de tout nombre naturel impair est congru à 2 modulo 16. La relation (5) donne donc

$\vert G\vert \equiv 1+2{\frac {k-1}{2}}{\pmod {16}}$

$\vert G\vert \equiv k{\pmod {16}}.$