Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité

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Dans ce chapitre et le suivant, on va donner les premiers éléments sur les caractères des représentations complexes des groupes finis. On se contentera d'un exposé vraiment minimal, limité à peu près à ce qui sera nécessaire pour donner, dans un troisième chapitre, la démonstration originale du théorème p-q de Burnside (selon lequel tout groupe fini dont l'ordre a au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble). Dans un quatrième chapitre, on déterminera les caractères irréductibles de quelques groupes finis. Le lecteur intéressé par ce dernier point pourra omettre le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.

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Rappels sur les nombres algébriques modifier

 
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Rappelons quelques notions sur les nombres algébriques qui seront utilisées dans ce chapitre et les suivants.

1° Un nombre complexe est appelé un nombre algébrique sur  , ou, plus couramment, un nombre algébrique (tout court), s'il est racine d'un polynôme non nul d'une variable à coefficients dans le corps   des nombres rationnels. Un tel polynôme est évidemment non constant.
Tout nombre rationnel est un nombre algébrique (puisqu'un nombre rationnel a est racine du polynôme X - a).
2° Un nombre complexe est appelé un entier algébrique s'il est racine d'un polynôme monique d'une variable à coefficients dans l'anneau   des entiers rationnels. (Un polynôme d'une variable est dit monique s'il est non nul et que son coefficient dominant, c'est-à-dire le coefficient de son terme non nul de plus grand degré, est égal à 1.)
Tout entier rationnel est un entier algébrique (puisqu'un entier rationnel a est racine du polynôme X - a).
Tout entier algébrique est évidemment un nombre algébrique.
3° Un nombre complexe   est un entier algébrique si et seulement le sous-anneau   de   engendré par   est un sous- -module de type fini de  , autrement dit un sous-groupe de type fini du groupe additif  , + des nombres complexes.
4° Dans 3°, on peut remplacer « sous-anneau » par « sous-pseudo-anneau ». (Noter que si B désigne le sous-anneau de   engendré par  , si   désigne le sous-pseudo-anneau de   engendré par  , alors   et  , donc B est un  -module de type fini si et seulement si   en est un.)
5° Un nombre complexe est un entier algébrique si et seulement s'il appartient à un sous-anneau de   qui est un  -module de type fini.
6° Dans 5°, on peut remplacer « sous-anneau » par « sous-pseudo-anneau ». (Noter qu'un sous-anneau est un sous-pseudo-anneau et que si P est un sous-pseudo-anneau,   est un sous-anneau.)
7° Les nombres algébriques forment un sous-corps de   et les entiers algébriques forment un sous-anneau de  .
L'anneau des entiers algébriques est donc un sous-anneau du corps des nombres algébriques.
8° Tout nombre rationnel qui est entier algébrique est un entier rationnel. (Cela revient à dire que l'anneau   est intégralement clos.)
9° (Ce point 9° ne sera pas utilisé avant le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.) Si un corps commutatif E admet un corps (commutatif) F comme sous-corps, on dit que E est une extension de F. (Il existe une définition un peu plus générale d'une extension d'un corps commutatif, mais nous n'en aurons pas besoin.) Alors E, muni de son addition et de la loi externe   est un F-espace vectoriel. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension E de F, ou encore le degré de E sur F.
Si tout élément de E est algébrique sur F (avec une définition d'un élément algébrique sur F qui généralise de façon évidente la définition d'un nombre complexe algébrique sur   donnée au point 1°), on dit que E est une extension algébrique de F, ou encore que E est algébrique sur F. Toute extension de degré fini d'un corps commutatif F est algébrique sur F.
Tout sous-corps de   est une extension de  . Le sous-corps de   engendré par une famille finie de nombres algébriques (sur  ) est une extension de degré fini de   et donc, d'après ce qui précède, une extension algébrique de  .
Si un sous-corps K de   est une extension de degré fini d de  , il existe exactement d homomorphismes de corps de K dans   (parmi lesquels l'homomorphisme qui envoie chaque élément de K sur lui-même). Ces homomorphismes, comme tout homomorphisme de corps, sont injectifs. On les appelle (abusivement) les isomorphismes de K dans  
Les d isomorphismes de K dans   coïncident avec l'identité en tout point de   On en tire facilement que l'image d'un nombre algébrique (resp. d'un entier algébrique) par un tel isomorphisme est un nombre algébrique (resp. un entier algébrique).
Notons   les isomorphismes de K dans   Pour tout élément   de K,   est un élément de   et si   est un entier algébrique,   est un élément de   L'élément   de   est appelé la norme de   (dans l'extension K de  ) et noté   Il est clair qu'un élément   de K est nul si et seulement   est nul.

Seuls les points 5°, 7°, 8° et 9° ne sont pas immédiats. On trouve leur démonstration dans des ouvrages classiques d'algèbre[1].

Caractère d'une représentation modifier

Les caractères de  -représentations de G sont donc des éléments du  -espace vectoriel   (que nous notons aussi  , surtout quand nous tenons compte de sa structure d'algèbre). Quand on parlera de la somme de deux ou plusieurs de ces caractères, il s'agira de leur somme dans cet espace vectoriel, c'est-à-dire de leur somme « point par point ». De même, quand on parlera du produit d'un de ces caractères par un nombre complexe, il s'agira de la loi externe du  -espace vectoriel  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Notons   le caractère de T,   le caractère de U, et V l'espace de la représentation vectorielle T.

Puisque T et U se correspondent, il existe une base numérotée B de V telle que, pour tout g dans G, U(g) soit la matrice de l'automorphisme T(g) de V dans la base B. On sait que si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, si M désigne la matrice de f dans une base de cet espace, alors Tr(M) = Tr(f). Donc, pour tout g dans G, Tr(U(g)) = Tr(T(g)), c'est-à-dire   ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. On verra plus loin (théorème 23) que le théorème 1 peut être renforcé comme suit : une  -représentation vectorielle et une  -représentation matricielle de G se correspondent si et seulement si elles ont le même caractère. C'est pour cela qu'on a qualifié le théorème 1 d'énoncé provisoire.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Commençons par les représentations matricielles. Soient   et   deux  -représentations matricielles équivalentes de G, soit d leur degré. Puisque   et   sont supposées équivalentes, il existe dans   une matrice M telle que, pour tout g dans G,

(1)  .

On sait[2] que deux matrices semblables ont même trace, donc (1) donne   pour tout g dans G, c'est-à-dire que   et   ont le même caractère.

L'énoncé est donc démontré pour les représentations matricielles. Pour démontrer le cas vectoriel, on pourrait imiter la démonstration du cas matriciel en utilisant cet analogue vectoriel de (2) :

si   et   sont deux  -espaces vectoriels de même dimension finie, si   est un isomorphisme de   sur  , si u est un endomorphisme de  , alors

 .

On peut aussi déduire le cas vectoriel du cas matriciel de la façon suivante. Soient   et   deux  -représentations vectorielles équivalentes de G. (  et   n'ont pas forcément le même espace.) Choisissons deux  -représentations matricielles   et   correspondant respectivement à   et  . Puisque   et   sont supposées équivalentes, il résulte d'un énoncé du chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1 que   et   sont équivalentes, donc, d'après la première partie de la démonstration,   et   ont le même caractère. Mais d'après le théorème 1, le caractère de   est le caractère de   et le caractère de   est le caractère de  , donc   et   ont le même caractère.

Remarque. On démontrera plus loin (théorème 23) que le théorème 2 peut être renforcé comme suit : deux  -représentations vectorielles (resp. matricielles) de G sont équivalentes si et seulement si elles ont le même caractère. C'est pour cela qu'on a qualifié le théorème 2 d'énoncé provisoire.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Notons U la somme directe   et notons   son caractère. Alors, pour tout élément g de G,

 .

Par définition de la somme directe d'un multiplet de  -représentations matricielles de G, cela s'écrit

(1)  .

On a noté (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1) que la trace de la somme directe d'un multiplet de matrices carrées est la somme des traces de ces matrices, donc (1) peut s'écrire

 

autrement dit

 ,

ce qui démontre l'énoncé.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Pour chaque j dans {1, ... , n}, choisissons une représentation matricielle   correspondant à   (via une base numérotée de  ).

Si nous posons

 ,

la représentation matricielle U correspond à la représentation vectorielle T (voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1).

D'autre part, d'après le théorème 3,

(1)  ,

  désigne le caractère de U et où, pour tout j,   désigne le caractère de  .

Puisque U correspond à T et que, pour chaque j,   correspond à  , nous avons, d'après le théorème 1,

  et, pour chaque j,  

donc (1) peut s'écrire

 ,

ce qui démontre l'énoncé.

Caractères complexes d'un groupe fini modifier

Soit G un groupe fini, soit   une application de G dans  . D'après le théorème 1, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

  1. il existe une  -représentation vectorielle de G dont   est le caractère ;
  2. il existe une  -représentation matricielle de G dont   est le caractère.


Remarque. Dans d'autres contextes, l'expression « caractère d'un groupe » est souvent employée dans le sens d'homomorphisme de ce groupe dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes. Nous ne donnerons jamais cette signification au mot « caractère ». On verra dans la suite qu'un homomorphisme d'un groupe fini G dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes peut être assimilé à un cas particulier de ce que nous appelons caractère complexe de G.

Exemples (triviaux) de caractères d'un groupe fini.

1° L'application constante nulle d'un groupe fini G dans   est un  -caractère de G, car c'est le caractère de l'unique  -représentation matricielle de degré 0 de G. Nous dirons que l'application constante nulle de G dans   est le caractère nul de G.

2° L'application constante de valeur 1 d'un groupe fini G dans   est un  -caractère de G, car c'est le caractère de la  -représentation matricielle constante

 ,

où (1) désigne la matrice de taille 1 dont l'unique coefficient est 1.

3° Plus généralement, si f est un homomorphisme d'un groupe fini G dans le groupe multiplicatif   du corps des nombres complexes, l'application   (application qui a le même graphe que f mais dont l'ensemble d'arrivée est   tout entier, alors que celui de f est  ) est un  -caractère de G. En effet, c'est le caractère de la  -représentation matricielle

 ,

  désigne la matrice de taille 1 dont l'unique coefficient est  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit U une  -représentation matricielle de G ayant   pour caractère. Alors   Mais U(1) est la matrice unité  , où d désigne le degré de la représentation T, et la trace de cette matrice est égale à d, donc   ce qui démontre l'énoncé dans le cas matriciel. On démontre le cas vectoriel d'une façon analogue, ou on le déduit du cas matriciel en associant à une représentation vectorielle T une représentation matricielle U qui lui correspond et en notant que T et U ont alors le même degré et, d'après le théorème 1, le même caractère.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque. On verra au théorème 23 que si deux  -représentations de G, toutes deux vectorielles ou toutes deux matricielles, ont le même caractère, elles sont équivalentes et que si une  -représentation vectorielle et une  -représentation matricielle de G ont le même caractère, elles se correspondent. C'est plus fort que le corollaire 6, puisque des représentations équivalentes ou se correspondant ont le même degré.


D'après le théorème 5, le degré de   est aussi le degré de toute  -représentation, vectorielle ou matricielle, de G ayant   pour caractère.

Soit G un groupe fini et   un  -caractère de G. Puisqu'une  -représentation vectorielle et une  -représentation matricielle de G qui se correspondent ont le même caractère (théorème 1) et sont ensemble irréductibles ou non (voir définition d'une  -représentation matricielle irréductible au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1), les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe une  -représentation vectorielle irréductible de G ayant   pour caractère;
2° il existe une  -représentation matricielle irréductible de G ayant   pour caractère.


Remarque. On démontrera plus loin (théorème 24) qu'un  -caractère   de G est irréductible si et seulement toute  -représentation (vectorielle ou matricielle) de G ayant   pour caractère est irréductible. En attendant, toutefois, nous devons nous en tenir à la définition.

Soient G un groupe fini et f une application de G dans  . Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

f est constante dans chaque classe de conjugaison d'éléments de G;
2° pour tous x, y dans G, f(xy) = f(yx).

En effet, xy et yx sont conjugués (puisque  ) donc 1° entraîne 2° et, d'autre part, si   et   sont deux éléments conjugués dans G, alors   et   avec   et  , donc 2° entraîne 1°.




Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit   un  -caractère de G. Il s'agit de prouver que pour tous éléments g et h de G,

thèse (1) .

Choisissons une  -représentation matricielle U de G ayant   pour caractère. Alors

 .

Puisque U est un homomorphisme de groupes, cela peut s'écrire

(2)  .

D'après le théorème 2), pour   fixé, la représentation matricielle   a même caractère que  , donc (2) peut s'écrire

 ,

ce qui est notre thèse (1).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit   un  -caractère de G. Choisissons une  -représentation, par exemple vectorielle, de G ayant   pour caractère.

D'après le chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, il existe un multiplet   de  -représentations vectorielles irréductibles de G telle que T soit équivalente à  .

Pour chaque i dans {1, ... , n}, notons   le caractère de  .

D'après le théorème 2, le caractère de T, c'est-à-dire  , est égal au caractère de  , qui, d'après le théorème 4, est égal à  .

Donc

 .

Puisque les représentations   sont irréductibles, les caractères   sont irréductibles, d'où l'énoncé.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Choisissons une  -représentation, par exemple vectorielle, T de G ayant   pour caractère. Notons V l'espace de T.

Soit g un élément de G, soit r l'ordre de g dans G.

Puisque   et que T est un homomorphisme de groupes de G dans GL(V), nous avons  , donc l'endomorphisme T(g) de V est racine du polynôme  , donc le polynôme caractéristique de l'endomorphisme T(g) de V est de la forme

 ,

  sont des racines r-ièmes de l'unité dans  . On a alors

 ,

autrement dit

(1)  .

Puisque l'ordre r de g divise l'ordre n de G,  , qui sont des racines r-ièmes de l'unité, sont des racines n-ièmes de l'unité. Nous avons donc démontré les assertions (i) et (ii) de l'énoncé.

L'endomorphisme   est l'inverse de l'endomorphisme T(g), donc[3]

(2)  .

Toute racine de l'unité est un nombre complexe de valeur absolue 1, donc   pour chaque j, donc (2) peut s'écrire

 ,

autrement dit

 ,

c'est-à-dire, d'après (1),

 ,

ce qui est l'assertion (ii) de l'énoncé.

Pour tout nombre naturel n non nul, les racines n-ièmes de l'unité dans   sont des entiers algébriques (puisqu'elles sont racines du polynôme  ). Le plus petit sous-corps de   comprenant les racines n-ièmes de l'unité est appelé le n-ième corps cyclotomique. Le théorème 9 a pour conséquence immédiate le

Début d’un théorème
Fin du théorème


Les caractères irréductibles dans l'espace des fonctions centrales modifier


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. La bilinéarité est évidente.
D'autre part,

 

autrement dit

(1)  

Comme   définit une permutation de G, cela peut s'écrire

 
(2)  

ce qui démontre la dernière assertion de l'énoncé. En portant (2) dans (1), nous trouvons

 
 
 

ce qui prouve que la forme bilinéaire   est symétrique.

Il nous arrivera de noter   cette forme bilinéaire.

Nous dirons que deux applications   de G dans   sont orthogonales si  , ce qui revient à  
Nous dirons qu'un r-uplet   d'applications de G dans   est orthonormal, ou encore est un système orthonormal, si, pour tous i, j dans {1, ... , r},  , symbole de Kronecker dans  .

Les deux énoncés qui suivent ne seront pas utilisés dans la suite et pourraient être obtenus comme des conséquences (faibles) du corollaire 21, qui sera démontré plus loin. On ne les donne que pour habituer le lecteur à la manipulation de la forme bilinéaire  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Nous avons

 
(1)  

Puisque   et   sont des  -caractères de G, nous avons, d'après le théorème 9,   et   donc (1) peut s'écrire

 
 
 

d'où, par symétrie de   (théorème 11),

 

ce qui prouve que   est réel.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Nous avons

 

ce qui, d'après le théorème 9, peut s'écrire

(1)  

Dans la somme du second membre, tous les termes sont des nombres réels  , donc

 

Si   n'est pas le caractère nul, son degré, soit d, n'est pas nul. Puisque le terme correspondant à g = 1 dans la somme du second membre de (1) est égal à  , nous avons donc

 
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Prouvons le point (i).
Si T et U sont vectorielles et qu'on choisit des représentations matricielles T' et U' correspondant respectivement à T et à U, alors T' et U' sont irréductibles et non équivalentes (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1); de plus, le caractère   de T est égal au caractère   de T' et le caractère   de U est égal au caractère   de U' (théorème 1). Cela montre que pour prouver le point (i), nous pouvons nous limiter au cas où T et U sont matricielles, ce que nous ferons.
Soient m et n les degrés respectifs de T et de U.
Pour tous i, j dans {1, ... , m}, désignons par   l'application de G dans   qui applique l'élément g de G sur le (i, j)-ième coefficient de la matrice T(g).
Autrement dit, pour tout g dans G,

 

De même, pour tous r,sj dans {1, ... , n}, désignons par   l'application de G dans   qui applique l'élément g de G sur le (r, s)-ième coefficient de la matrice U(g).
Autrement dit, pour tout g dans G,

 

Nous avons

 
 
 
 
 

Puisque T et U sont irréductibles et non équivalentes, il résulte d'un théorème de Schur démontré au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2 que chaque somme partielle   est nulle, donc

 

ce qui prouve le point (ii).
Démontrons maintenant le point (ii).
Choisissons une  -représentation matricielle irréductible T de G ayant   pour caractère. Définissons m et   comme dans la démonstration du point (i). Nous avons

 
 
 
 
(1)  

D'après le théorème de Schur déjà utilisé dans la démonstration du point (i), la somme partielle

 

est égale à

 

donc (1) peut s'écrire

 
 

ce qui démontre le point (ii).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Désignons par   et par   les caractères de T et de U respectivement.
Nous savons déjà (théorème 2) que si T et U sont équivalentes, alors   =  .
Réciproquement, supposons   =   et prouvons que T et U sont équivalentes.
D'après le point (ii) du théorème 14, l'hypothèse   =   entraîne

 
 

donc, d'après le point (i) du théorème 14, T et U sont équivalentes.

Remarque. Nous démontrerons au théorème 23 que, dans le corollaire 15, l'hypothèse d'irréductibilité peut être levée.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Puisque deux  -représentations matricielles équivalentes de G ont le même caractère (théorème 2 ou corollaire 15), on peut définir correctement une application f de l'ensemble des classes d'équivalence de  -représentations matricielles irréductibles de G dans l'ensemble des  -caractères irréductibles de G de sorte que, pour toute  -représentation matricielle irréductible U de G, f applique la classe de U sur le caractère de U (ce caractère est irréductible par définition d'un caractère irréductible).
L'application f est surjective par définition des caractères irréductibles et est injective d'après le corollaire 15, donc c'est une bijection, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.
On a vu (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2) que les classes d'équivalence de  -représentations matricielles irréductibles de G sont en nombre fini; la seconde assertion de l'énoncé en résulte.

Remarque. On précisera plus loin (théorème 29) le nombre des  -caractères irréductibles de G.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Démontrons la première forme de l'énoncé. (C'est en fait une reformulation du théorème 14, avec cette différence qu'on fait maintenant abstraction des représentations qui permettent de définir les caractères.) Choisissons deux représentations irréductibles T et U de G, par exemple matricielles, ayant respectivement pour caractères   et  .
Si   alors T et U ne sont pas équivalentes (théorème 2 ou encore corollaire 15), donc, d'après le théorème 14, (i)

 

Si maintenant   alors, d'après le théorème 14, (ii),

 

Nous avons donc démontré la première forme de l'énoncé. En revenant à la définition de la forme bilinéaire symétrique  , nous trouvons que la somme

 

égale   si   et   sont égaux et qu'elle est nulle dans le cas contraire. D'après le théorème 9, la somme   peut s'écrire

 .

Puisque les caractères sont des fonctions centrales, la seconde forme de l'énoncé en résulte.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soient   des scalaires (nombres complexes) tels que

(1) 

Soit j un des indices 1, ... , r; il s'agit de prouver que

(thèse 2) 

D'après (1), nous avons

 
(3) 

D'après le théorème 17,   et   pour tout i distinct de j. Donc (3) peut s'écrire   ce qui est notre thèse (2).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Les fonctions centrales de G dans   forment un sous-  espace vectoriel de   et on vérifie facilement que ce sous-espace est isomorphe à l'espace  , où   désigne l'ensemble des classes de conjugaison d'éléments de G. Donc

(1) les fonctions centrales de G dans   forment un sous- -espace de dimension   de  

D'autre part, puisque, d'après le théorème 7, tout  -caractère est une fonction centrale, il résulte du théorème 18 que les  -caractères irréductibles de G forment une partie linéairement indépendante du  -espace des fonctions centrales de G dans  .
De cela et de (1), il résulte que le nombre des  -caractères irréductibles de G est au plus égal à  , ce qui démontre l'énoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 8, il existe des nombres naturels   tels que

(1)  

Alors, pour tout j,

 

D'après le théorème 17, cela peut s'écrire

 

On peut donc remplacer dans (1)   par   ce qui démontre l'énoncé.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. La thèse

 

et son cas particulier

 

sont une conséquence immédiate de la bilinéarité de   et du théorème 17.
D'après le théorème 20, les   et les   sont naturels, d'où la troisième assertion de l'énoncé. La relation  , autrement dit la relation  , a lieu si et seulement si tous les   sont nuls, ce qui, vu l'indépendance linéaire des Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle \chi_{i},} a lieu si et seulement   d'où la dernière assertion de l'énoncé.

Remarque. Le corollaire 21 est évidemment plus précis que les énoncés 12 et 13.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Si   est irréductible, alors   d'après le théorème 14 (ou le théorème 17).
Réciproquement, supposons que   et prouvons que   est irréductible.
Soient   les différents  -caractères irréductibles de G. D'après le théorème 8 (ou encore le théorème 20), il existe des nombres naturels   tels que

(1)  

d'où, d'après le corollaire 21,

 

Puisque nous supposons  , nous avons donc

 

ce qui n'est possible que si pour un i,   et que pour tous les j distincts de i,  
Alors (1) donne   donc   est irréductible.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Démontrons le point a) dans le cas où les représentations S et T sont matricielles.
Désignons par   le caractère de S et par   le caractère de T.
Nous savons déjà, par le théorème 2, que si S et T sont équivalentes, alors  .
Réciproquement, supposons que

(1)  

et prouvons que S et T sont équivalentes.
Par exemple d'après le corollaire 16, nous pouvons choisir un système complet   de  -représentations matricielles irréductibles deux à deux non équivalentes de G, l'expression « système complet » signifiant que toute  -représentation matricielle irréductible de G est équivalente à une (et une seule) des représentations  .
Donc (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 17 et théorème 20), S est équivalente à une somme directe

 

où chaque   est une des représentations  .
D'après l'associativité et la quasi-commutativité de la somme directe des  -représentations matricielles (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncés 14 et 15), S est donc équivalente à une somme directe

(2)  

où les   sont des nombres naturels et où   désigne la somme directe de   représentations égales à  .
De même, T est équivalente à une somme directe

(3)  

pour certains nombres naturels  
Compte tenu des théorèmes 2 et 3, nos relations (2) et (3) donnent

 

et

 

  désigne le caractère de  
Donc, d'après (1),

(4)  

Puisque les représentations matricielles   sont irréductibles et deux à deux non équivalentes, il résulte du corollaire 15 que les caractères   sont deux à deux distincts, donc, d'après le théorème 18, ils sont linéairement indépendants.
La relation (4) donne donc  , donc, d'après (2) et (3), S et T sont équivalentes.
On a donc démontré l'assertion a) de l'énoncé dans le cas où S et T sont matricielles. On pourrait démontrer de même le cas vectoriel à l'aide d'analogues vectoriels des théorèmes matriciels dont on s'est servi dans la démonstration du point a). On peut aussi déduire le cas vectoriel du cas matriciel en utilisant le théorème 1 et le fait que si S et T sont des  -représentations vectorielles correspondant respectivement à des  -représentations matricielles S' et T', alors S et T sont équivalentes si et seulement si S'et T' le sont. (Voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 1.)

Démontrons maintenant le point b). D'après le théorème 1, il suffit de prouver que si T et U ont le même caractère, elles se correspondent. Notons V l'espace de la représentation T. Choisissons une base numérotée B de V et notons U' la  -représentation matricielle de G correspondant à T via la base B. Notons   le caractère de T et   le caractère de U'. Puisque T et U' se correspondent, le théorème 1 donne

 

D'autre part,

  par hypothèse.

Donc   donc, d'après le point a), U et U' sont équivalentes.
On est donc dans la situation suivante : U et U' sont matricielles et équivalentes, T est vectorielle et correspond à U'. D'après le chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 1, b), il en résulte que T et U se correspondent.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Cela se déduit facilement de la définition d'un  -caractère irréductible, du théorème 23 (deux  -représentations ayant le même caractère sont équivalentes) et du fait que si deux  -représentations (toutes deux vectorielles ou toutes deux matricielles) sont équivalentes, si une de ces deux représentations est irréductible, l'autre l'est aussi (Représentations complexes des groupes finis, 1, énoncé 2 ou 3).

Soit   un  -caractère d'un groupe fini G. Nous avons été amenés à considérer la fonction   (conjuguée complexe de  ), par exemple au théorème 9. Nous allons prouver que la fonction   est elle aussi un  -caractère de G. Pour cela, nous allons introduire la notion de  -représentation matricielle contragrédiente d'une  -représentation matricielle de G.

Soit T une  -représentation matricielle de G, c'est-à-dire un homomorphisme de G dans   pour un certain nombre naturel n. L'application

 

où le t en exposant à gauche désigne la transposée d'une matrice, est un homomorphisme de groupes. En effet,

 
 
 

où le second membre, d'après la propriété   de la transposée, est égal à   Donc :  définit une  -représentation matricielle de G, de même degré que T.


Il est clair que la contragrédiente de la contragrédiente d'une  -représentation matricielle T de G n'est autre que T.

Remarque. Si T est une  -représentation vectorielle de G dans un espace V, on peut définir de façon analogue la contragrédiente de T comme la représentation vectorielle  , où   désigne le dual de V (c'est-à-dire le  -espace formé par les formes  -linéaires sur V) et où le t en exposant désigne le transposé d'un endomorphisme d'espace vectoriel. La contragrédiente de la contragrédiente de T est alors une  -représentation vectorielle de G dans l'espace  , espace canoniquement isomorphe à V, et est équivalente à T, ce que le lecteur intéressé pourra vérifier. Nous ne nous servirons pas de la contragrédiente d'une représentation vectorielle.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit U une  -représentation matricielle de G; désignons par   le caractère de U.

(1) Le caractère de la contragrédiente de U applique l'élément g de G sur  

Puisqu'une matrice carrée et sa transposée ont la même diagonale principale et donc la même trace, la relation (1) revient à dire que le caractère de la contragrédiente de U applique l'élément g de G sur   autrement dit sur  , qui, d'après le théorème 9, est égal à   Donc le caractère de la contragrédiente de U est   Que   et   soient de même degré, cela résulte du fait qu'une  -représentation matricielle et sa contragrédiente ont le même degré, ou encore du fait que, le degré   de   étant un nombre naturel,   Nous avons ainsi prouvé les deux premières assertions de l'énoncé.
D'après le théorème 22,   est irréductible si et seulement si   D'après le théorème 11, cette condition équivaut à   et d'après le théorème 9, ceci équivaut à   ce qui, d'après le théorème 22, équivaut à ce que   soit irréductible. Cela prouve la troisième assertion de l'énoncé.

La démonstration du théorème qui suit montre que la considération des caractères simplifie parfois les choses.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Désignons par   le caractère de T. D'après la définition d'un caractère irréductible et le théorème 24, T est irréductible si et seulement si   est irréductible. D'après le théorème 25, il en résulte que

(1) T est irréductible si et seulement si   est irréductible.

D'autre part, toujours d'après le théorème 25,   est le caractère de la contragrédiente de T, donc, d'après la définition d'un caractère irréductible et le théorème 24,   est irréductible si et seulement si la contragrédiente de T est irréductible.
Joint à (1), cela démontre l'énoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème 11,   et d'après le théorème 9,  .

Tout revient donc à prouver que si   désigne l'endomorphisme   de V, alors

(thèse 1)  est l'homothétie de rapport  .

Prouvons d'abord que, pour tout élément g de G,

(thèse 2)  .

Nous avons