Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
Problème 1
modifierSi G est un groupe, désignons par Gl le sous-groupe de SG formé par les translations gauches gl : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que Gl est isomorphe à G. (Voir le chapitre Holomorphe d'un groupe.)
Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que Gl est sous-groupe normal minimal de l'holomorphe Hol(G) de G.
Puisque Gl est isomorphe à G, il est caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouvons que Gl est sous-groupe normal minimal de Hol(G). Soit N un sous-groupe normal de Hol(G) contenu dans Gl; il s'agit de prouver que N est égal à 1 ou à Gl. D'après le chapitre Holomorphe d'un groupe, le fait que N soit normal dans Hol(G) et contenu dans Gl entraîne que N est caractéristique dans Gl. Nous avons noté que Gl est caractéristiquement simple, donc N est égal à 1 ou à Gl, ce qu’il fallait démontrer.
Remarque. Puisque Gl est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.
Problème 2
modifierSoit G un groupe fini résoluble, soit M un sous-groupe maximal de G. Prouver que l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier.
Indication : raisonner par récurrence sur l'ordre de G; choisir un sous-groupe normal minimal N de G et déduire du chapitre théorique une propriété de ; puis, distinguer selon que M contient N ou ne le contient pas; s'il le contient, appliquer l'hypothèse de récurrence au groupe G/N.
On va raisonner par récurrence sur l'ordre de G.
Puisque G est supposé avoir un sous-groupe maximal, il n'est pas trivial, donc nous pouvons choisir un sous-groupe normal minimal N de G. D'après le chapitre théorique (et compte tenu que G est résoluble), il existe un nombre premier tel que N soit un p-groupe abélien élémentaire. Retenons seulement que
- (1) l'ordre de N est une puissance de nombre premier.
Puisque N est normal dans G,
- MN est un sous-groupe de G.
Supposons d'abord que
- (hyp. 2) M ne contienne pas N.
Alors MN > M, donc, puisque M est un sous-groupe maximal de G,
- MN = G,
- ,
ce qui, d'après la formule du produit, peut s'écrire
- ,
donc divise ,
- divise
Puisque nous avons vu en (1) que est une puissance de nombre premier, il en résulte que l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier. Donc
- (3) l'énoncé est vrai dans notre hypothèse (2), où M ne contient pas N.
Supposons maintenant que
- (hyp. 4) M contient N.
Alors N est un sous-groupe normal de M, donc nous pouvons considérer le groupe M/N.
Puisque M est un sous-groupe maximal de G, il résulte du théorème de correspondance que
- (5) M/N est un sous-groupe maximal de G/N.
Puisque, par définition, un sous-groupe normal minimal est non trivial, N est non trivial, donc
- (6)
De plus,
- (7) G/N est résoluble.
De (5), (6), (7) et de notre hypothèse de récurrence, il résulte que
- l'indice de M/N dans G/N est une puissance de nombre premier.
Mais l'indice de M/N dans G/N est égal à l'indice de M dans G, donc
- l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier,
donc l'énoncé est encore vrai dans notre hypothèse (4), où M contient N.
Joint à (3), cela achève la démonstration.
Remarque. L'énoncé de cet exercice était connu de Galois[1].
Notes et références
modifier- ↑ J.S. Rose, A Course on Group Theory, réimpression Dover, 1994, p. 279.