Théorie des groupes/Exercices/Groupes commutatifs finis, 2
Problème 1
modifierSoient G et H deux groupes commutatifs finis. Si, pour tout nombre naturel k non nul, G et H ont le même nombre d'éléments d'ordre k, G et H sont isomorphes.
De façon générale, si K est un groupe et k un nombre naturel non nul, le nombre des éléments x de K tels que xk = 1, autrement dit le nombre des éléments de K dont l’ordre divise k, est
où d parcourt les diviseurs naturels de k et où n(K, d) désigne le nombre d'éléments d'ordre d de K. En faisant K = G puis K = H et en notant que n(G, d) = n(H, d) pour tout d, nous trouvons que
(1) pour tout nombre naturel k, le nombre des éléments x de G tels que kx = 0 est égal au nombre des éléments y de H tels que ky = 0.
(Autrement dit, le nombre des éléments dont l’ordre divise k est le même dans G et dans H.)
Soient les facteurs invariants de G et ceux de H.
Donc G est somme directe (interne)
où, pour chaque i (1 ≤ i ≤ r), Gi est cyclique d'ordre ai > 1.
De même, H est somme directe (interne)
où, pour chaque j (1 ≤ j ≤ s), Gj est cyclique d'ordre bj > 1.
Par exemple parce que
est un isomorphisme de la somme directe externe des Gi sur G, un élément de G satisfait à la condition kx = 0 si et seulement si, pour tout i, kxi = 0. Puisque G est cyclique d'ordre ai, le nombre des éléments z de Gi tels que kz = 0 est pgcd(k, ai). (Voir un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément.) Donc (toujours en vertu de l'isomorphisme de la somme directe externe des Gi sur G), le nombre des éléments x de G tels que kx = 0 est
De même, le nombre des éléments y de H tels que ky = 0 est
Notre résultat (1) peut donc s'écrire
Prouvons, de façon générale, que si a1, ... , ar, b1, ... , bs sont des nombres naturels > 1 tels que
- et
si la relation (2) est satisfaite pour tout nombre naturel k non nul, alors
(3) r = s et ai = bi pour tout i (1 ≤ i ≤ r).
Nous allons raisonner par récurrence sur max(r, s). Si max(r, s) = 0, alors r et s sont tous deux nuls et la thèse est vraie. Supposons maintenant que max(r, s) ≥ 1 et que la thèse (3) est vraie pour tous r', s' tels que max (r', s') < max (r, s) (hypothèse de récurrence).
Si, par exemple, r est nul, alors, d’après l'hypothèse max(r, s) ≥ 1, s n’est pas nul, donc nous pouvons parler de b1. En faisant k = b1 dans (2), nous trouvons
Puisque les bj sont tous > 1, ceci entraîne s = 0, contradiction. Donc r et s sont tous deux ≥ 1, donc nous pouvons parler de a1 et de b1. Si par exemple s ≤ r, faisons k = a1 dans (2). Puisque a1 divise tous les ai, nous trouvons
Puisque, pour chaque j, pgcd(a1, bj) divise a1 et que s ≤ r, il faut clairement que s soit égal à r et que, pour chaque j, pgcd(a1, bj) = a1, autrement dit a1 divise tous les bj et, en particulier, a1 divise b1. En faisant maintenant k = b1 dans (2), nous trouvons de même que b1 divise a1, d'où finalement a1 = b1. (Nous avons supposé s ≤ r, mais il est clair que si r ≤ s, on obtiendra le même résultat en faisant d’abord k = b1 puis k = a1.)
Nous pouvons donc diviser les deux membres de (2) par pgcd(k, a1) = pgcd(k, b1). Nous trouvons que, pour tout nombre naturel k non nul,
Par hypothèse de récurrence, ceci entraîne ai = bi pour tout i ≥ 2, d'où notre thèse (3). Dès lors, compte tenu de (2), G et H ont la même suite de facteurs invariants et sont donc isomorphes.