Théorie des groupes/Groupes commutatifs finis, 2

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Comme annoncé, nous allons démontrer, dans cette seconde partie du chapitre, des théorèmes d'unicité relatifs aux décompositions dont l’existence a été démontrée dans la première partie du chapitre.

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Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier et G un groupe fini commutatif p-primaire. Soient c₁, ... , c_s des éléments non nuls de G tels que

$G=<c_{1}>\oplus \ldots \oplus <c_{s}>.$

Si, pour chaque élément x de G, nous désignons par [x] la classe de x modulo pG, alors [c₁], ... , [c_s] forment une base du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G/pG.

Fin du lemme

Démonstration. Prouvons tout d’abord que [c₁], ... , [c_s] forment une famille génératrice du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G/pG. Tout élément de G/pG étant de la forme [x] avec x dans G, il s'agit de prouver que pour tout élément x de G, il existe des éléments f₁, ... , f_s de $\mathbb {F} _{p}$ tels que

$(1)\qquad [x]=f_{1}[c_{1}]+...+f_{s}[c_{s}].$

D'après les hypothèses de l'énoncé, il existe des entiers rationnels a₁, ... , a_s tels que x = a₁ c₁ + a_s c_s, d'où

$(2)\qquad [x]=a_{1}[c_{1}]+a_{s}[c_{s}].$

Pour tout i, désignons par f_i la classe résiduelle de a_i modulo p. D'après la définition de la structure de $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel de G/pG, la relation (2) donne [x] = f₁ [c₁] + f_s [c_s], ce qui est notre thèse (1).
Prouvons maintenant que [c₁], ... , [c_s] forment une famille libre d'éléments du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G/pG. Soient f₁, ... , f_s des éléments de $\mathbb {F} _{p}$ tels que

$(3)\qquad f_{1}[c_{1}]+f_{s}[c_{s}]=0$ dans G/pG.

Il s'agit de prouver que tous les f_i sont nuls dans $\mathbb {F} _{p}$. Pour chaque i, choisissons un entier rationnel a_i dont la classe modulo p soit f_i. L'hypothèse (3) revient à dire qu'a₁ c₁ + ... a_s c_s appartient à pG. Il existe donc un élément x de G tel qu'a₁ c₁ + ... a_s c_s = px. D'après les hypothèses de l'énoncé, x est de la forme b₁ c₁ + ... b_s c_s, où les b_i sont des entiers rationnels. On a donc

a₁ c₁ + ... a_s c_s = pb₁ c₁ + ... pb_s, d'où, toujours d’après les hypothèses de l'énoncé,

$(4)\qquad a_{i}c_{i}=pb_{i}c_{i}$ pour tout i.

Puisque c_i est un élément non nul d'un groupe p-primaire, son ordre est divisible par p, donc, d’après (4), a_i - p b_i est divisible par p, donc a_i est divisible par p, donc f_i est nul, ce qui démontre notre thèse.

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier et G un groupe fini commutatif p-primaire. Si G admet une décomposition comme somme directe de s facteurs cycliques non nuls, s est égal à la dimension de G/pG comme $\mathbb {F}$-espace vectoriel et est égal aussi au plus petit cardinal de partie génératrice de G.

Fin du lemme

Démonstration. La première partie de l'énoncé résulte immédiatement du précédent lemme. Pour démontrer la seconde partie, désignons par s la dimension de G/pG comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel et par t le plus petit cardinal de partie génératrice de G. Il s'agit de prouver que s = t. D'après la première partie de l'énoncé, G/pG admet une partie génératrice à s éléments, donc, par minimalité de t, t ≤ s. Prouvons l'inégalité opposée. Il existe une partie génératrice {x₁, ... , x_t} de G. Il en résulte clairement que les images de x₁, ... , x_t dans G/pG forment une partie génératrice du $\mathbb {Z}$-espace vectoriel G/pG (voir la première partie de la démonstration du lemme précédent), donc t est supérieur ou égal à la dimension de cet espace vectoriel, c'est-à-dire à s.

Remarques :

1. La partie de l'énoncé relative au plus petit cardinal de partie génératrice ne sera pas utilisée dans la suite.
   
2. Le lemme qui précède montre que si G est un groupe commutatif p-primaire, le nombre de sous-groupes dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques non nuls ne dépend que de G et non d'une décomposition particulière. Nous nous acheminons ainsi vers un théorème d'unicité.

Notation. Si G est un groupe commutatif fini p-primaire, nous désignerons par d(G) la dimension de G/pG comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel. D'après ce qui précède, d(G) est le plus petit cardinal de partie génératrice de G. Si G est d'exposant p, pG est nul, donc G/pG est isomorphe à G, donc, dans ce cas, d(G) est la dimension de G comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel.

Dans le cas particulier où G est d'exposant premier p, le lemme précédent donne :

Début d’un théorème

Cas particulier

Si G est un groupe commutatif fini d'exposant premier p (autrement dit un p-groupe abélien élémentaire), si G est somme directe de s sous-groupes cycliques d'ordre p, la dimension de G comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel est égale à s.

Fin du théorème

On pourrait évidemment le démontrer plus directement, en notant que (si G est d'exposant p), le sous-groupe de G engendré par un élément x de G est aussi le sous-$\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel de G engendré par x.

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier, m un nombre naturel non nul et G un groupe somme directe de s sous-groupes cycliques d'ordre p^m. Pour tout nombre naturel n < m, s = d(pⁿG/pⁿ⁺¹G).

Fin du lemme

Démonstration. Par hypothèse, il existe des sous-groupes cycliques G₁, ... , G_s de G, tous d'ordre p^m, tels que

$G=G_{1}\oplus \ldots \oplus G_{s}.$

Il en résulte clairement que

$(1)\qquad p^{n}G=p^{n}G_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n}G_{s}.$

et, de même,

$(2)\qquad p^{n+1}G=p^{n+1}G_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n+1}G_{s}.$

On montre facilement que, de façon générale, si S est un groupe commutatif somme directe de sous-groupes S₁, ... , S_r, si, pour chaque i, T_i est un sous-groupe de S_i, alors

$S/(T_{1}\oplus \ldots \oplus T_{r})\cong (S_{1}/T_{1})\oplus \ldots \oplus (S_{r}/T_{r})$

(où le second membre est une somme directe externe). Les relations (1) et (2) donnent donc

$p^{n}G/p^{n+1}G\cong (p^{n}G_{1}/p^{n+1}G_{1})\oplus \ldots (p^{n}G_{s}/p^{n+1}G_{s}),$

autrement dit, si nous posons H_i = pⁿG_i,

$(3)\qquad p^{n}G/p^{n+1}G\cong (H_{1}/pH_{1})\oplus \ldots \oplus (H_{s}/pH_{s}).$

Puisque n < m, H_i est un groupe cyclique d'ordre p^m-n et pH_i un groupe cyclique d'ordre p^{m-n- 1}, donc H_i/pH_i est un groupe cyclique d'ordre p. La relation (3) montre donc que le groupe $p^{n}G/p^{n+1}G$, qui est évidemment d'exposant p, est somme directe de s groupes cycliques d'ordre p. D'après le « cas particulier » ci-dessus, s est la dimension de $p^{n}G/p^{n+1}G$ comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel, autrement dit s = d(pⁿG/pⁿ⁺¹G).

Début d'un lemme

Lemme

Soit G un groupe commutatif p-primaire admettant une décomposition

$G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$

en somme directe de sous-groupes cycliques non nuls. Pour tout nombre naturel n > 0, le nombre des i tels que C_i soit d'ordre au moins pⁿ est d(p^n-1G/pⁿG).

Fin du lemme

Démonstration. Pour tout nombre naturel j, désignons par A_j la somme directe des C_i d'ordre p^j. (Si aucun C_i n'est d'ordre p^j, A_j est le sous-groupe nul.) Nous avons donc

$G=A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{t}$

pour un certain t. Alors

$(1)\qquad p^{n-1}G=p^{n-1}A_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n-1}A_{t}$.

et

$(2)\qquad p^{n}G=p^{n}A_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n}A_{t}$.

Pour j ≤ n - 1, p^n-1A_j est nul (car A_j, étant une somme de sous-groupes d'ordre p^j, admet l'exposant p^j et donc aussi l'exposant p^n-1). Donc (1) peut s'écrire

$(3)\qquad p^{n-1}G=p^{n-1}A_{n}\oplus \ldots \oplus p^{n-1}A_{t}$.

De même, pour k ≤ n, pⁿA_k est nul, de sorte que nous pouvons éliminer de (2) les sous-groupes pⁿA₁, ... , pⁿA_n. Nous garderons toutefois pⁿA_n, pour obtenir une relation analogue à (3) :

$(4)\qquad p^{n}G=p^{n}A_{n}\oplus \ldots \oplus p^{n}A_{t}$.

De (3) et (4) résulte

$(5)\qquad p^{n-1}G/p^{n}G\cong p^{n-1}A_{n}/p^{n}A_{n}\oplus \ldots \oplus p^{n-1}A_{t}/p^{n}A_{t},$

où le second membre est une somme directe externe (et où le terme $p^{n-1}A_{n}/p^{n}A_{n}$ est évidemment isomorphe à p^n-1A_n) Tous les quotients apparaissant dans (5) sont des groupes d'exposant p et donc des $\mathbb {F} _{p}$-espaces vectoriels. En passant aux dimensions, nous trouvons (compte tenu que, comme nous l'avons vu, d coïncide avec la dimension dans le cas des groupes commutatifs d'exposant p)

$(6)\qquad d(p^{n-1}G/p^{n}G)=d(p^{n-1}A_{n}/p^{n}A_{n})+\ldots +d(p^{n-1}A_{t}/p^{n}A_{t}).$

Par définition, A_j est la somme directe des C_i d'ordre p^j. Soit a_j le nombre de ces C_i d'ordre p^j. Pour chaque j tel que n ≤ j ≤ t, il résulte d'un lemme précédent que $d(p^{n-1}A_{j}/p^{n}A_{j})$ est égal à a_j. La relation (6) peut donc s'écrire

$d(p^{n-1}G/p^{n}G)=a_{n}+\ldots +a_{t}.$

Le second membre est le nombre des i tels que C_i soit d'ordre au moins pⁿ, donc l'énoncé est démontré.

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif fini p-primaire et n un nombre naturel ≥ 1. Dans toute décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques non nuls, le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre pⁿ est d(p^n-1G / pⁿG) - d(pⁿG / p^{n + 1}G).

Fin du lemme

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme précédent.

Début d’un théorème

Théorème

Soient G un groupe commutatif fini (non forcément primaire), p un nombre premier divisant l’ordre de G et n un nombre naturel ≥ 1. Le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre pⁿ dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques primaires non nuls ne dépend que de G et non de la décomposition.

Fin du théorème

Démonstration. Si G est primaire, cela résulte clairement du lemme précédent. Cessons de supposer G primaire. Soient

$(1)\qquad G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$

et

$(2)\qquad G=D_{1}\oplus \ldots \oplus D_{t}$

deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls. Quiite à changer la numérotation, nous pouvons supposer que dans la première décomposition, les sous-groupes p-primaires sont C₁, ... , C_u. Posons

$A=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{u}$

et

$B=C_{u+1}\oplus \ldots \oplus C_{s}.$

Alors

$(3)\qquad G=A\oplus B,$

où A est un groupe p-primaire et où l’ordre de B est premier avec p. Montrons qu'A est la composante p-primaire de G. Puisque A est p-primaire, il est contenu dans la composante p-primaire de G. Réciproquement, soit x un élément de la composante p-primaire de G. Il s'agit de prouver que x appartient à A. D'après (3), nous avons x = a + b, avec a dans A et b dans B. Alors x et a appartiennent tous deux à la composante p-primaire de G, donc b appartient à la composante p-primaire de G, donc l’ordre de b est une puissance de p. D'autre part, puisque b appartient à B, l’ordre de b est premier avec p. Ainsi, l’ordre de b est une puissance de 'p et n’est pas divisible par p, donc cet ordre est égal à 1, donc b = 0, donc x = a, donc x appartient à A, ce qui achève de prouver qu'A est la composante p-primaire de G. Il en résulte que le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre pⁿ dans la décomposition (1) de G est égal au nombre des sous-groupes cycliques d'ordre pⁿ dans une certaine décomposition de la composante p-primaire de G en somme directe de sous-groupes primaires. De même, le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre pⁿ dans la décomposition (2) de G est égal au nombre des sous-groupes cycliques d'ordre pⁿ dans une certaine décomposition de la composante p-primaire de G en somme directe de sous-groupes primaires. Comme nous avons démontré le théorème dans le cas particulier où G est p-primaire, le cas général en résulte.

Début d’un théorème

Théorème

Soit G un groupe commutatif fini. Si $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$ et $G=D_{1}\oplus \ldots \oplus D_{t}$ sont deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls, alors s = t et il existe une permutation $\ \sigma$ de l’ensemble {1, 2, ... , s} telle que, pour tout i dans {1, 2, ... , s}, l’ordre de $\ C_{i}$ soit égal à l’ordre de $\ D_{\sigma (i)}.$

Fin du théorème

Démonstration. Cela résulte clairement de l'énoncé précédent.

Définition

Si G est un groupe commutatif fini, on appelle suite des diviseurs élémentaires de G la suite des ordres des sous-groupes apparaissant dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques primaires non nuls.

D'après le théorème qui précède, cette suite est définie de manière unique à l’ordre près (et de manière rigoureusement unique si on fait une convention ad hoc sur l’ordre d'énumération). Par exemple, la suite des diviseurs élémentaires de Z/9Z est (9), celle de Z/3Z × Z/3Z est (3, 3) et celle de Z/6Z est (2, 3). Au lieu de dire que la suite des diviseurs élémentaires de G est (d₁, ..., d_n) on dit aussi que les diviseurs élémentaires de G sont d₁, ..., d_n, en respectant les multiplicités. Par exemple, on dira que les diviseurs élémentaires d'un groupe de Klein sont 2 et 2.

Corollaire

Deux groupes commutatifs finis sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même suite de diviseurs élémentaires.

Démonstration. Soient G et H deux groupes commutatifs finis. Supposons d’abord que G et H sont isomorphes et prouvons qu’ils ont la même suite de diviseurs élémentaires. Choisissons un isomorphisme f de G sur H et une décomposition $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$ de G en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls. On vérifie facilement que $H=f(C_{1})\oplus \ldots \oplus f(C_{s})$ est une décomposition de H en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls. Comme les ordres des C_i (resp. des f(C_i) ) sont les diviseurs élémentaires de G (resp. de H) et que, pour tout i, l’ordre de f(C_i) est égal à celui de C_i, G et H ont les mêmes diviseurs élémentaires, comme annoncé.
Réciproquement, supposons que G et H ont la même suite de diviseurs élémentaires. Alors $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$ et $G=D_{1}\oplus \ldots \oplus D_{s}$, où, pour tout i, C_i et D_i sont deux groupes cycliques de même ordre et donc isomorphes. Par exemple d’après la propriété universelle de la somme restreinte externe (chapitre Produit de groupes), il en résulte que G et H sont isomorphes.

Si $(a_{i})_{i\in I}$ et $(b_{j})_{j\in J}$ sont deux familles finies, nous appellerons (abusivement) « réunion » de ces familles une famille $(c_{k})_{k\in K}$ telle que l’ensemble des c_k soit la réunion R de l’ensemble des a_i et de l’ensemble des b_j et que, pour chaque élément x de R, la multiplicité de x dans la famille $(c_{k})_{k\in K}$ soit égale à la somme des multiplicités de x dans la famille $(a_{i})_{i\in I}$ et dans la famille $(b_{j})_{j\in J}$. (Le cardinal de K est donc égal à la somme de ceux de I et de J.) Il est clair que deux familles finies ont toujours une telle « réunion » et que cette réunion est définie de manière unique à l’ordre près.

Début d'un lemme

Lemme

Soient A et B deux groupes commutatifs finis. La suite des diviseurs élémentaires de $A\oplus B$ (somme directe interne ou externe) est la « réunion » des suites des diviseurs élémentaires de A et de B.

Fin du lemme

Démonstration. Puisque la somme directe externe de deux groupes commutatifs est la somme directe interne de deux groupes isomorphes respectivement à A et à B, nous pouvons supposer que les sommes directes considérées sont internes. L'énoncé résulte alors clairement de la définition de la suite des diviseurs élémentaires.

Début d'un lemme

Lemme

Soient A, B, C et D des groupes commutatifs finis. Si $C\cong D$, si $A\oplus C\cong B\oplus D$ (les sommes directes étant internes ou externes), alors $A\cong B$.

Fin du lemme

Démonstration. Puisqu'une somme directe interne de deux sous-groupes est isomorphe à leur somme directe externe, nous pouvons supposer qu’il s'agit de sommes directes externes. Puisque, par hypothèse, $A\oplus C\cong B\oplus D$, il résulte d'un théorème ci-dessus que :

$(1)\qquad A\oplus C$ et $B\oplus D$ ont la même suite de diviseurs élémentaires. De même,

$(2)\qquad C$ et $\ D$ ont la même suite de diviseurs élémentaires.

D'autre part, d’après le lemme précédent, la suite des diviseurs élémentaires de A s'obtient en retranchant celle de C de celle de $A\oplus C$ et, de même, la suite des diviseurs élémentaires de B s'obtient en retranchant celle de D de celle de $B\oplus D$. Compte tenu de (1) et (2), il en résulte qu'A et B ont la même suite de diviseurs élémentaires. D'après un théorème ci-dessus, A et B sont donc isomorphes.

Début d’un théorème

Théorème

Si G et H sont deux groupes commutatifs finis isomorphes, si G admet une suite de facteurs invariants (a₁, ... , a_s) et H une suite de facteurs invariants (b₁, ... , b_t), ces deux suites sont égales. En particulier, un groupe commutatif fini n'a qu'une suite de facteurs invariants.

Fin du théorème

Démonstration. Soit G un groupe commutatif fini admettant la suite de facteurs invariants (a₁, ... , a_s), soit H un groupe commutatif fini isomorphe à H admettant la suite de facteurs invariants (b₁, ... , b_t). Il s'agit de prouver que s = t et que, pour tout i, a_i = b_i. Si s ou t est nul, G et H sont tous deux nuls, donc s et t sont tous deux nuls (rappel : 1 ne figure pas parmi les facteurs invariants), donc la thèse est vraie dans ce cas.
Supposons maintenant que s et t sont tous deux non nuls. Par définition d'une suite de facteurs invariants, G est somme directe $(1)\qquad G=A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{s}$ d'une famille de sous-groupes cycliques A₁, ... , A_s, d'ordres respectifs a₁, ... , a_s et

$(2)\quad a_{1}\vert \ldots \vert a_{s-1}\vert a_{s}.$

De même, H est somme directe $(3)\qquad G=B_{1}\oplus \ldots \oplus B_{t}$ d'une famille de sous-groupes cycliques B₁, ... , B_t, d'ordres respectifs b₁, ... , b_t et

$(4)\qquad b_{1}\vert \ldots \vert b_{t-1}\vert b_{t}.$

On tire facilement de (2) que a_s est l'exposant minimal de G. De même, on tire de (4) que b_t est l'exposant minimal de H. Puisque G et H sont isomorphes, ils ont le même exposant minimal, donc

$(5)\qquad a_{s}=b_{t},$

donc A_s est isomorphe à B_t. Compte tenu du lemme précédent, il résulte dès lors de (1) et (3) que $A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{s-1}$ est isomorphe à $B_{1}\oplus \ldots \oplus B_{t-1}$. Par exemple par récurrence sur s, on en tire que les suites (a₁, ... , a_s-1) et (b₁, ... , b_t-1) sont égales. Joint à (5), cela prouve que les suites (a₁, ... , a_s) et (b₁, ... , b_t) sont égales, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion est un cas particulier évident de la première.

Nous pouvons donc parler de la suite des facteurs invariants d'un groupe commutatif fini.

Corollaire

Deux groupes commutatifs finis sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même suite de facteurs invariants.

Démonstration. Soient G et H deux groupes commutatifs finis. Si G et H sont isomorphes, ils ont la même suite de facteurs invariants d’après le théorème précédent. Réciproquement, supposons que G et H aient tous deux la suite de facteurs invariants (a₁, ... , a_s). Alors G est somme directe

$(1)\qquad G=A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{s}$

d'une famille de sous-groupes cycliques A₁, ... , A_s, d'ordres respectifs a₁, ... , a_s et H est somme directe

$(2)\qquad H=B_{1}\oplus \ldots \oplus B_{s}$

d'une famille de sous-groupes cycliques B₁, ... , B_s, d'ordres respectifs a₁, ... , a_s. Deux groupes cycliques de même ordre sont isomorphes, donc, pour chaque i, A_i est isomorphe à B_i, donc, d’après un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte (chapitre Produit de groupes), G et H sont isomorphes.