Théorie des groupes/Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément

Groupes monogènes, ordre d'un élément
Image logo représentative de la faculté
Exercices no6
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes monogènes, ordre d'un élément

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
Exo suiv. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Groupes monogènes, ordre d'un élément
Théorie des groupes/Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Problème 1

modifier

a) Soit G un groupe cyclique d'ordre  , soient   et   deux diviseurs naturels de   tels que   divise   D'après le chapitre théorique, G a un seul sous-groupe d'ordre   et un seul sous-groupe d'ordre   Prouver que l'unique sous-groupe d'ordre   de G est contenu dans l'unique sous-groupe d'ordre   de G.

b) Soit G un groupe cyclique d'ordre  , où   est un nombre premier et   un nombre naturel. Prouver que l'ensemble des sous-groupes de G est totalement ordonné par inclusion.

Remarques. 1° On déduit facilement du point a) que si G est un groupe cyclique d'ordre  , l'ensemble des sous-groupes de G, ordonné par inclusion, est isomorphe (comme ensemble ordonné) à l'ensemble des diviseurs naturels de  , ordonné par la relation « divise ». Le point b) est un cas particuler de cette isomorphie.
2° Ce problème nous servira dans le chapitre Sous-groupe de Frattini.

Problème 2

modifier

Soient G un groupe, x et y deux éléments de G. Prouver que xy et yx ont le même ordre[1].

Indication : utiliser le fait que si l’ordre d'un élément z est fini, cet ordre est le plus petit nombre naturel n > 0 tel que zⁿ = 1.

Problème 3

modifier

Soient f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H et x un élément de G. Montrer que l’ordre de f(x) divise celui de x. (On admet que la notion de divisibilité peut s'étendre aux cardinaux infinis, un cardinal a étant dit diviser un cardinal b s'il existe un cardinal c tel que ac = b.) Si, de plus, f est injectif, montrer que x et f(x) ont le même ordre.

Problème 4

modifier

Soient f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H d'ordre fini a. Soit x un élément de G d'ordre fini premier avec a. Montrer que f(x) = 1.

Problème 5

modifier

a) Soient G un groupe, a et b deux entiers rationnels premiers entre eux. Prouver que si x est un élément de G tel que   x peut se mettre sous la forme   avec  , et que y peut être pris égal à une puissance de x.

b) Soit G un groupe fini d'ordre a, soit b un entier rationnel premier avec a. Prouver que l’application   de G dans lui-même est une permutation de G (et, bien sûr, un automorphisme de G si G est commutatif).

Remarque : l'énoncé b) nous servira dans le chapitre Théorème de Gaschütz.

Problème 6. Ordre du composé de deux éléments commutant entre eux

modifier

Soient G un groupe, a et b deux éléments de G, d'ordres finis r et s respectivement. On suppose que a et b commutent.

a) Prouver que l’ordre de ab est fini et divise le ppcm de r et s.

b) Montrer que l’ordre de ab n’est pas forcément égal à ppcm(r, s).

c) On suppose que ⟨a⟩ ⋂ ⟨b⟩ = 1 (où ⟨x⟩ désigne le sous-groupe de G engendré par l'élément x de G). Prouver que l’ordre de ab est égal à ppcm(r, s).

d) Dans le groupe des permutations de l’ensemble à trois éléments {1, 2, 3}, on considère la permutation (1 2) qui échange 1 et 2 (c'est-à-dire applique 1 sur 2 et 2 sur 1) et laisse 3 fixe ; on considère de même la permutation (2 3) qui échange 2 et 3 et laisse 1 fixe. Montrer que l’ordre de (1 2)(2 3) ne divise pas le ppcm des ordres de (1 2) et (2 3). (Ceci montre que l'énoncé du point a) devient faux si on en supprime l'hypothèse selon laquelle a et b commutent.)

e) Prouver que si r et s sont premiers entre eux, l’ordre de ab est rs.

f) Montrer qu'il existe deux entiers u et v tels que l'ordre de aubv soit égal à ppcm(r, s).

g) Soient G un groupe, soit   un nombre naturel non nul, soient   et   des éléments de G tels que

(i)   et   commutent entre eux;
(ii) les ordres de   et de   sont finis;
(iii) l'ordre de   est divisible par   et l'ordre de   est premier avec  .

D'après le point a),   est d'ordre fini. Prouver que l'ordre de   est divisible par  .

h) Il résulte du point a) que si deux éléments d'un groupe commutent entre eux et sont d'ordres finis, leur composé est d'ordre fini. Puisqu'un élément et son inverse ont le même ordre (voir chapitre théorique), les éléments d'ordre fini d'un groupe abélien G forment donc un sous-groupe de G. Montrer que dans le groupe   (groupe multiplicatif des matrices carrées inversibles de taille 2 à coefficients dans  ), les éléments

  et  

sont d'ordres finis mais que AB est d'ordre infini.

Problème 7

modifier

Prouver que tout groupe d'ordre 4 est commutatif.

Problème 8

modifier

Soient G un groupe fini et p un nombre premier.

a) Montrer que si H et K sont deux sous-groupes distincts d'ordre p de G, H et K ont une intersection triviale, c'est-à-dire que H ⋂ K = 1.

b) Montrer que le nombre des éléments d'ordre p de G est égal à n(p – 1), où n désigne le nombre des sous-groupes d'ordre p de G.

Remarque. On trouvera une démonstration un peu différente et plus générale dans les exercices de la série Automorphismes d'un groupe cyclique.

c) Donnez un exemple de p-groupe fini (c'est-à-dire de groupe d'ordre une puissance de p) qui contient exactement p + 1 sous-groupes d'ordre p.

Problème 9

modifier

Soient G un groupe cyclique d'ordre n noté multiplicativement, k un entier naturel et d le plus grand diviseur de k et n.

a) Montrer qu'un élément x de G est puissance k-ième dans G si et seulement s'il est puissance d-ième dans G.

b) Sous les hypothèses du point a), montrer que si un élément x de G est puissance k-ième dans G, les éléments y de G tels que yk = x sont en nombre d.

Problème 10 (Ordre d'une puissance)

modifier

Soit G un groupe, soit   un élément d'ordre fini de G ; on notera cet ordre  .

a) Soit   un nombre naturel. Prouver que l'ordre de   est  

b) Soient r et s premiers entre eux tels que |x| = rs. Montrer que x s'écrit de façon unique ab avec a et b éléments de G qui commutent et d'ordres respectifs r et s.

(C'est en quelque sorte une réciproque forte de la question e du problème 6.)

Problème 11 (Ordre d'une racine)

modifier

Soit G un groupe. Pour tout élément  , on notera   l'ordre de  . Soit   un élément d'ordre fini de G, soit   un nombre naturel dont tout diviseur premier divise   (donc   n'est pas nul), soit   un élément de G tel que yd = x.

a) Prouver que   est d'ordre  
Indication : on peut utiliser le problème « Ordre d'une puissance » et le théorème de Bézout.

b) Montrer par un exemple que l'énoncé du point a) cesse d’être exact si on supprime l'hypothèse selon laquelle tout facteur premier de   divise l’ordre de  .

Remarque. L'énoncé du point a) admet le cas particulier suivant (qui peut d'ailleurs se démontrer un peu plus simplement que le cas général) : soit G un groupe, soit   un élément de G dont l'ordre est une puissance naturelle de nombre premier, soit   cet ordre; soit   un élément de G tel que  ,   étant un nombre naturel; alors l'ordre de   est   Dans la suite du cours, on utilisera ce cas particulier sans référence.

Problème 12 (Sous-groupes à la fois maximaux et normaux)

modifier

a) Soit G un groupe, soit M un sous-groupe normal de G. Prouver que M est un sous-groupe maximal de G si et seulement si M est d'indice (fini) premier dans G.

Remarque. On verra dans un exercice sur le chapitre Groupes alternés qu'un sous-groupe maximal (non normal) n'est pas forcément d'indice premier.

b) Désignons par   le groupe additif des nombres rationnels (voir le chapitre Groupes, premières notions). Prouver que   n'a pas de sous-groupe maximal.

Indication : on peut utiliser le point a).

Remarques.

  1. Le point b) sera rappelé dans le chapitre Sous-groupe de Frattini.
  2. Un groupe abélien est sans sous-groupe maximal si et seulement s'il est divisible, notion qui sera peut-être définie un jour dans la présente leçon.

Problème 13

modifier

Soient p un nombre premier impair et G un groupe d'ordre p + 1 possédant un automorphisme d'ordre p. Montrer que tout élément de G différent du neutre est d'ordre 2.

Remarque. G est alors abélien et c'est même un 2-groupe abélien élémentaire, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à (ℤ/2ℤ)r pour un certain entier r. Cet exposant r est premier puisque p = 2r – 1 est un nombre de Mersenne premier.

Problème 14

modifier

Soit G un groupe n'ayant qu'un nombre fini de sous-groupes. Montrer que G est fini.

Références

modifier
  1. J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, New York, 1999, p. 44.