Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires

Groupes linéaires
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Exercices no10
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes linéaires

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Produit direct et somme restreinte
Exo suiv. :Théorèmes de Sylow
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires
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Problème 1Modifier

Soit K un corps commutatif, soient   et   des nombres naturels tels que   Prouver que le groupe GL(m, K) peut être plongé dans le groupe GL(n, K) (c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui revient encore à dire que GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(m, K).

Problème 2Modifier

Soit K un corps commutatif, soit   un nombre naturel   Prouver que GL(n, K) est abélien si et seulement si   est égal à 1.
Indication : si  , on peut utiliser le problème 1.

Problème 3Modifier

On suppose connue la notion de produit semi-direct, qui sera définie dans un chapitre ultérieur.

Soient   un corps commutatif et   un entier strictement positif. On note   le sous-groupe des matrices de   qui ont exactement un coefficient non nul sur chaque colonne et sur chaque ligne et   le sous-groupe formé par les matrices diagonales.

  1. Montrer que   est un produit semi-direct  , où   est le sous-groupe des matrices de permutation.
  2. On suppose que  . Montrer que   est le normalisateur de   dans  . Ce résultat subsiste-t-il quand   ?

Problème 4Modifier

Montrer que GL(2, 2) est isomorphe au groupe symétrique S3.