Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires

Problème 1

Soit K un corps commutatif, soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m\leq n.$ Prouver que le groupe GL(m, K) peut être plongé dans le groupe GL(n, K) (c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui revient encore à dire que GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(m, K).

Solution

À toute matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq m}$ dans GL(m, K), faisons correspondre la matrice

$B_{A}=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$,

où

$b_{i,j}=a_{i,j}$ si $1\leq i,j\leq m$,

$b_{i,j}=1$ si $i=j>m$,

$b_{i,j}=0$ dans les autres cas, c'est-à-dire si un au moins des deux nombres $i,j$ est $>m$ et que $i\not =j.$

On vérifie facilement que la matrice $B_{A}$ admet pour inverse la matrice $B_{A^{-1}}$, donc $B_{A}$ appartient à GL(n, K). On vérifie aussi que $A\mapsto B_{A}$ définit un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui démontre l'énoncé.
Remarques.

1. Pour ne pas montrer séparément que $B_{A}$ est inversible, on pourrait montrer que $A\mapsto B_{A}$ définit un homomorphisme injectif du monoïde GL(m, K) dans le monoïde multiplicatif formé par les matrices $n\times n$ à coefficient dans K. Puisque le monoïde de départ est un groupe, cet homomorphisme prend ses valeurs dans le groupe des éléments inversibles du monoïde d'arrivée, donc l'homomorphisme considéré induit un homomorphisme du groupe GL(m, K) dans le groupe GL(n, K).
2. L'énoncé revient à dire que pour tout K-espace vectoriel V de dimension $n$ et tout K-espace vectoriel W de dimension $m$, GL(W) peut être plongé dans GL(V). Pour le démontrer sans utiliser les matrices, on peut se ramener au cas où W est un sous-espace de V et compléter une base $(w_{1},\ldots ,w_{m})$ en une base $(v_{1},\cdots ,v_{n})$ de V, avec $v_{1}=w_{1},\ldots ,v_{m}=w_{m}.$ À tout automorphisme $f$ de W, on fait correspondre l'endomorphisme $g_{f}$ de V qui, pour chaque $i$ dans $\{1,\ldots ,m\}$, applique $v_{i}=w_{i}$ sur $f(w_{i})$ et qui, pour chaque $j>m$, applique $v_{j}$ sur lui-même. L'endomorphisme $g_{f}$ est un automorphisme de V (son inverse est $g_{f^{-1}}$) et $f\mapsto g_{f}$ définit un homomorphisme injectif du groupe GL(W) dans le groupe GL(V).

 

Problème 2

Soit K un corps commutatif, soit $n$ un nombre naturel $\geq 1.$ Prouver que GL(n, K) est abélien si et seulement si $n$ est égal à 1.
Indication : si $n\geq 2$, on peut utiliser le problème 1.

Solution

Si $n=1$, GL(n, K) est formé par les matrices inversibles $1\times 1$ à coefficients dans K. On en tire facilement que GL(n, K) est isomorphe au groupe multiplicatif $K\setminus \{0\}$ et est donc commutatif (puisque le corps K est supposé commutatif).
Il reste à prouver que si $n\geq 2$, alors le groupe GL(n, K) n'est pas abélien. D'après le problème 1, GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(2, K), donc il suffit de prouver que GL(2, K) n'est pas abélien.
Posons

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}$ et $B={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\\end{pmatrix}}$.

Alors A admet pour inverse la matrice ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}$ et B la matrice ${\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\\\end{pmatrix}}$.
Donc A et B appartiennent à GL(2, K). D'autre part,

$AB={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\\\end{pmatrix}}$ et $BA={\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\\end{pmatrix}}$ (où 2 désigne l'élément 1 + 1 de K), donc $AB\not =BA$, donc GL(2, K) n'est pas abélien.

 

Problème 3

On suppose connue la notion de produit semi-direct, qui sera définie dans un chapitre ultérieur.

Soient $K$ un corps commutatif et $n$ un entier strictement positif. On note $H$ le sous-groupe des matrices de $\mathrm {GL} _{n}(K)$ qui ont exactement un coefficient non nul sur chaque colonne et sur chaque ligne et $D$ le sous-groupe formé par les matrices diagonales.

1. Montrer que $H$ est un produit semi-direct $D\rtimes W$, où $W$ est le sous-groupe des matrices de permutation.
2. On suppose que $|K|\geq 3$. Montrer que $H$ est le normalisateur de $D$ dans $\mathrm {GL} _{n}(K)$. Ce résultat subsiste-t-il quand $|K|=2$ ?

Solution

1. On vérifie aisément que $D\cap W=\{\mathrm {I} _{n}\}$, $DW=H$ et $\forall w\in W\quad wDw^{-1}\subset D$.
2. $D\triangleleft H$ donc $H\subset N_{\mathrm {GL} _{n}(K)}(D)$. Réciproquement, soit $g\in \mathrm {GL} _{n}(K)$ tel que $gDg^{-1}\subset D$. Choisissons dans $K$ un scalaire $a$ différent de 0 et de 1 et notons $d$ la matrice diagonale dont le premier terme diagonal est égal à $a$ et les suivants valent $1$. Alors, en notant $(e_{1},\dots ,e_{n})$ la base canonique de $K^{n}$, $gdg^{-1}(g(e_{1}))=ag(e_{1})$. Or l'automorphisme $gdg^{-1}$ a les mêmes valeurs propres $a,1,\dots ,1$ que $d$. Comme il est supposé diagonal dans la base canonique, ceci prouve que $g(e_{1})$ est colinéaire à l'un des $e_{i}$. Il en va de même pour chaque $g(e_{k})$, donc $g\in H$.
   Pour $K=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, ce résultat disparaît : dans ce cas, $D=\{\mathrm {I} _{n}\}$ donc $N_{\mathrm {GL} _{n}(K)}(D)$ est égal à tout $\mathrm {GL} _{n}(K)$, qui contient strictement $H$.

 

Problème 4

Montrer que GL(2, 2) est isomorphe au groupe symétrique S₃.

Solution

Ce groupe linéaire agit naturellement sur l'ensemble E des trois vecteurs non nuls de $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{2}$. Cette action est fidèle, et |GL(2, 2)| = 6 = |S_E|. Le morphisme associé, de GL(2, 2) dans le groupe symétrique S_E, est donc un isomorphisme.