Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 168
Problème 1
modifiera) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier; on suppose que (nombre des p-sous-groupes de Sylow de G) est le plus petit diviseur d de tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod p).
Soient P, Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Prouver que est contenu dans tous les p-sous-groupes de Sylow de G. (Indication : utiliser l'énoncé qu'on a appelé « lemme de l'intersection maximale » dans le chapitre théorique.)
Parmi les couples (R, S) de p-sous-groupes de Sylow de G distincts tels que
- (1) contienne ,
choisissons-en un tel que
- (2) soit le plus grand possible.
Alors, si on désigne par I(2, p, G) l'ensemble des où (A, B) parcourt les couples de p-sous-groupes de Sylow de G tels que ,
- (3) est un élément maximal de I(2, p, G) ordonné par inclusion.
Pour prouver l'énoncé, il suffit évidemment de prouver que
- (thèse 4) est contenu dans tous les p-sous-groupes de Sylow de G.
Posons D'après l'énoncé qu'on a appelé « lemme de l'intersection maximale » dans le chapitre théorique, il résulte de (3) que
- (5) et sont deux différents p-sous-groupes de Sylow de N.
Donc N a plus d'un p-sous-groupe de Sylow. D'après les théorèmes de Sylow, il en résulte que (nombre des p-sous-groupes de Sylow de N) est > 1, congru à 1 modulo p et divise , lequel divise . D'après l'hypothèse de minimalité faite sur dans l'énoncé, nous avons donc
- (6)
D'autre part, puisque N est sous-groupe de G, il existe une injection f de (ensemble des p-sous-groupes de Sylow de N) dans (ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G) telle que, pour tout p-sous-groupe de Sylow A de N, f(A) contienne A (voir un exercice de la série Théorèmes de Sylow).
D'après (6), cette injection doit être une surjection, donc
- (7) tout p-sous-groupe de Sylow de G contient un p-sous-groupe de Sylow de N.
Mais est un p-sous-groupe normal de donc est contenu dans tout p-sous-groupe de Sylow de N. Donc, d'après (7), tout p-sous-groupe de Sylow de G contient . Nous avons choisi R et S tels que contienne , donc tout p-sous-groupe de Sylow de G contient , ce qui démontre l'énoncé.
b) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier; on suppose que
- 1° est le plus petit diviseur d de tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod p);
- 2° n'est pas congru à 1 modulo la plus grande puissance de p qui divise l'ordre de G.
Prouver que G n'est pas simple. (Utiliser le point a) et une forme forte du théorème de congruence de Sylow qu'on a démontrée dans les exercices sur les théorèmes de Sylow.)
D'après une forme forte du théorème de congruence de Sylow qu'on a démontrée dans les exercices sur les théorèmes de Sylow, il résulte de l'hypothèse 2° qu'on peut choisir deux différents p-sous-groupes de Sylow P et Q tels que
- (1)
D'après l'hypothèse 1° et le point a), est contenu dans tous les p-sous-groupes de Sylow de G. Donc si I désigne l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G, Comme (d'où ), nous avons I < G, ce qui, joint à (1), donne
- (2) 1 < I < G.
On a vu dans un exercice sur le chapitre Sous-groupes caractéristiques que I est un sous-groupe caractéristique de G, donc (2) montre que G n'est pas caractéristiquement simple et a fortiori n'est pas simple.
c) Soit G un groupe d'ordre 4400. Prouver que G n'est pas simple. (Indication. Si le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G est égal à 16 ou à , utiliser le théorème du complément normal de Burnside; si utiliser le point b).)
Notons le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G. D'après les théorèmes de Sylow, est congru à 1 modulo 5 et divise . En distinguant selon que est divisible ou non par 11, on trouve que est égal à 1, 11, 16 ou .
Si G a un 5-sous-groupe de Sylow normal et n'est donc pas simple.
Si alors est le plus petit diviseur d de tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod 5); comme, de plus, 11 n'est pas congru à 1 modulo la plus grande puissance de 5 (à savoir 25) qui divise , il résulte du point b) que G n'est pas simple.
Si alors, P désignant un 5-sous-groupe de Sylow de G, donc
- (1)
D'autre part, puisque l'ordre de P est le carré d'un nombre premier, P est commutatif, donc ce qui, joint à (1), donne D'après le théorème du complément de Burnside, P a donc un complément normal dans G, donc G n'est pas simple.
Reste le cas où Alors, P désignant un 5-sous-groupe de Sylow de G,
- (2)
En particulier,
- (3) est divisible par 11. Prouvons que
- (thèse 4) n'est pas divisible par 11.
D'après le lemme N/C, divise .
Si P est cyclique (d'ordre 25), alors, d'après le chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique, , donc la thèse (4) est vraie dans ce cas.
Si maintenant P n'est pas cyclique, il est produit direct de deux groupes d'ordre 5 (voir le chapitre Théorèmes de Sylow). D'après une remarque sur un exercice de la série Produit de groupes, P est assimilable à un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps à p éléments. On montre facilement que les automorphismes du groupe P sont les automorphismes de cet espace vectoriel. Or ces automorphismes d'espace vectoriel sont en nombre (voir le chapitre Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs), donc dans ce cas aussi, la thèse (4) est vraie, c'est-à-dire que n'est pas divisible par 11. Donc d'après (3),
- (5) est divisible par 11.
Puisque P est commutatif, il est contenu dans , donc l'ordre de est divisible par 25. D'après (5), cet ordre est donc divisible par , donc, d'après (2), D'après le théorème du complément normal de Burnside, P a donc un complément normal dans G, donc G n'est pas simple.
Problème 2
modifierSoit G un groupe simple d'ordre 168, soit H un sous-groupe d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans exactement cinq 2-sous-groupes de Sylow de G.
Soit h un élément d'ordre 2 de G. L'énoncé revient à dire que h appartient à exactement cinq 2-sous-groupes de Sylow de G.
D'après le chapitre théorique (étape 17), les éléments d'ordre 2 de G sont en nombre 21 et forment une seule classe de conjugaison, donc le centralisateur de tout élément d'ordre 2 de G est d'ordre 8, donc tout élément g d'ordre 2 de G est central dans un et un seul 2-sous-groupe de Sylow de G.
Donc est un 2-sous-groupe de Sylow de G. On a vu au chapitre théorique (étape 10) que les 2-sous-groupes de Sylow de G sont diédraux d'ordre 8 et on vérifie facilement qu'un groupe diédral D d'ordre 8 a exactement 5 éléments d'ordre 2 (dont un et un seul est central dans D). Désignons par les 5 éléments d'ordre 2 de . Alors sont des 2-sous-groupes de Sylow de G.
Puisqu'un groupe diédral d'ordre 8 n'a qu'un élément central d'ordre 2, sont distincts. Ils comprennent tous h, puisque les appartiennent à . Enfin, si D est un 2-sous-groupe de Sylow de G qui comprend h, désignons par z(D) l'unique élément central d'ordre 2 de D; puisque D comprend h, z(D) commute avec h, donc z(D) appartient à , donc z(D) est un des 5 éléments ; d'autre part, d'après ce qu'on a vu plus haut, est un 2-sous-groupe de Sylow de G et, puisqu'il contient D, il doit être égal à D; donc D est égal à où z est un des , ce qui montre que tout 2-sous-groupe de Sylow de G qui comprend h est un des sous-groupes .
Nous avons donc prouvé que h appartient à exactement cinq 2-sous-groupes de Sylow de G, ce qui démontre l'énoncé.
Voici, à toutes fins utiles, l'esquisse d'une autre rédaction de la même démonstration.
Si D est un groupe diédral d'ordre 8, on désigne comme plus haut par z(D) l'unique élément central d'ordre 2 de D. Alors, pour tout élément x d'ordre 2 de G,
- (1)
et pour tout 2-sous-groupe de Sylow D de G,
- (2)
Pour tout élément h d'ordre 2 de G, notons S(h) l'ensemble des 2-sous-groupes de Sylow de G qui comprennent h et notons C(h) l'ensemble des éléments d'ordre 2 de G qui commutent avec h. Alors définit une application de S(h) dans C(h) et définit une application de C(h) dans S(h). D'après (1) et (2), ces deux applications sont réciproques, donc S(h) a le même nombre d'éléments que C(h). Mais C(h) est le nombre d'éléments d'ordre 2 du groupe , groupe qui est diédral d'ordre 8, donc C(h) est de cardinal 5, donc S(h) est lui aussi de cardinal 5.
Remarque. Comme 5 ne divise pas 168, cela montre qu'on ne peut pas énoncer ce renforcement d'un théorème de Sylow : soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit P un p-sous-groupe de G; le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G qui contiennent P divise l'ordre de G.