Théorie des groupes/Exercices/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Exercices no34
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
Exo suiv. :Intermède : groupes simples d'ordre 168
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Théorie des groupes/Exercices/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Problème 1

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Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif F. On a vu dans le chapitre théorique que deux transvections de V sont toujours des éléments conjugués dans le groupe GL(V). On va prouver que si la dimension n de V est au moins égale à 3, deux transvections de V sont toujours des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

a) Tout d'abord, on ne suppose pas n au moins égal à 3. Soit f un endomorphisme de V ; on suppose que V est somme directe d'un hyperplan H et d'une droite W stables par f. Prouver que pour tout élément d de F, il existe un endomorphisme de V qui commute avec f et dont le déterminant est égal à d. (Indication : l'endomorphisme à trouver peut être choisi comme coïncidant avec l'identité sur H.)

b) On suppose que la dimension n de V est au moins égale à 3. Soient t et u deux transvections de V. À l'aide du point a), prouver que t et u sont des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

Problème 2

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a) Soit F un corps commutatif, soit a un élément de F qui ne soit le carré d'aucun élément de F. (Le cas se présente. Par exemple, dans le corps à 3 éléments, - 1 n'est pas un carré. De même; un élément négatif du corps des nombres rationnels n'est pas un carré dans ce corps.) Prouver que les matrices

 

et

 

sont des matrices élémentaires de transvection mais ne sont pas des éléments conjugués dans le groupe SL(2, F).

b) Soit F un corps commutatif ayant un élément qui n'est pas un carré dans F, soit V un espace vectoriel de dimension 2 sur F. Prouver qu'il existe deux transvections de V qui ne sont pas des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

Problème 3

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D'après le chapitre théorique, l'ordre du groupe PSL(3, 4) est 20160. Le groupe A8 est lui aussi d'ordre 20160. Nous allons prouver que ces deux groupes ne sont pas isomorphes, ce qui montrera que deux groupes simples finis peuvent avoir le même ordre sans être isomorphes. Puisque le groupe A8 comprend des éléments d'ordre 6, par exemple (1 2 3 4 5 6) (7 8), il suffit de prouver que PSL(3, 4) n'a pas d'élément d'ordre 6, ce qui sera fait dans la suite de l'exercice.

Rappels :

1° Dans un anneau commutatif où 1 + 1 = 0 (ce qu'on écrit aussi 2 = 0), on a
-1 = 1,
(x + y)2 = (x - y)2 = x2 + y2 = x2 - y2,
(x + y)4 = (x - y)4 = x4 + y4 = x4 - y4,
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2, etc.
C'est vrai en particulier dans le corps à 4 éléments F4 et dans l'anneau de polynômes F4[X].
2° Si F désigne un corps commutatif, si M désigne une matrice carrée ∈ Mn(F) (n nombre naturel > 0), si f(X) est un polynôme ∈ F[X] annulé par M, alors chaque facteur irréductible sur F du polynôme caractéristique de M est un des facteurs irréductibles sur F de f(X); cela se déduit facilement du fait que le polynôme minimal de M divise f(X) et du fait que le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de M ont les mêmes facteurs irréductibles (voir P. Tauvel, Algèbre, 2e édition, 2010, théor. 11.9.8, p. 191).
3° Dans le corps (commutatif) fini Fq à q éléments, la (q - 1)-ième puissance de tout élément non nul est égale à 1 (ce qu'on peut déduire du théorème de Lagrange), donc le polynôme Xq-1 - 1 admet la décomposition en facteurs linéaires
 

a) Désignons par a et b les deux éléments de F4 distincts de 0 et de 1. Prouver les relations

a3 = b3 = 1,
X3 - 1 = (X -1) (X -a) (X -b).

b) Prouver que PSL(3, 4) n'a pas d'élément d'ordre 6.

Problème 4

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Soit   un corps commutatif. On considère le sous-groupe (dit de Borel) de   :

 .
  1. Étant donnée   avec  , montrer qu'il existe   telles que  , où  .
  2. En déduire que   est la réunion disjointe de   et  .
  3. En déduire qu'il n'existe pas de sous-groupe   tel que  .
  4. Montrer que   est égal à l'ensemble des matrices diagonales dans  .
  5. Montrer que   est égal au centre de   (on pourra utiliser la question précédente, et considérer  ).

Problème 5

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Soit   un corps commutatif de cardinal au moins 4. On se propose de redémontrer, à l'aide du problème précédent, que   est simple.

Soient   un sous-groupe normal et   sa préimage par le morphisme canonique  .

  1. Montrer, en utilisant le problème précédent, que   est égal à   ou à  .
  2. Si  , montrer que   est trivial (utiliser à nouveau le problème précédent).
    Supposons maintenant   et considérons le sous-groupe   de   des matrices de la forme  .
  3. Montrer que  .
  4. Montrer que  . On pourra utiliser la question précédente et le fait que   est engendré par les matrices de la forme   et   (cf. lemme 15 du présent chapitre).
  5. En déduire que   est isomorphe à  , et donc en particulier est commutatif.
  6. En déduire que   contient  .
  7. Conclure.

Problème 6

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  1. Montrer que le groupe projectif linéaire   (quotient de   par son centre  ) est isomorphe au groupe symétrique  .
  2. En déduire que   est isomorphe au groupe alterné   (qui n'est pas simple).
  3. Montrer que   est d'ordre 24 et calculer l'ordre de  . En déduire que   n'est pas isomorphe à  .
  4. Montrer que   est un produit semi-direct   avec   normal d'ordre 8 et   d'ordre 3, que l'on précisera.