Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
Problème 1
modifierSoit k un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins k éléments, soit x un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par Gx le stabilisateur de x dans G. Pour tout élément g de Gx et tout élément y de X-{x}, gy appartient à X-{x}, de sorte que le groupe Gx opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où gy correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et l'action de Gx sur X-{x} est (k-1)-transitive.
Supposons 1° et prouvons 2°.
Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de Gx sur X - {x} est (k-1)-transitive.
Soient a1, ..., ak-1 (resp. b1, ..., bk-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément g de Gx tel que
- ga1 = b1, ..., gak-1 = bk-1.
Cela revient à prouver qu’il existe un élément g de G tel que
- ga1 = b1, ..., gak-1 = bk-1 et gx = x.
Or cela est bien vrai, puisque a1, ..., ak-1, x sont k différents éléments de X, que b1, ..., bk-1, x sont eux aussi k différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°.
Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.
Soient a1, ..., ak (resp. b1, ..., bk) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément g de G tel que
- (thèse 1) ga1 = b1, ..., gak = bk.
D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément h de G tel que
- (2) ha1 = x.
De même, il existe un élément h' de G tel que
- (3) h'b1 = x.
Les k-1 éléments ha2, ..., hak de X sont distincts entre eux et distincts de ha1, autrement dit de x. Donc ha2, ..., hak sont k-1 différents éléments de X - {x}.
De même, h'b2, ..., h'bk sont k-1 différents éléments de X - {x}.
Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de Gx sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément f de Gx tel que
- fha2 = h'b2, ..., fhak = h'bk,
ce qui peut s'écire
- h'-1fha2 = b2, ..., h'-1fhak = bk.
Donc si nous posons g = h'-1 f h, nous avons
- (4) g a2 = b2, ..., g ak = bk.
De plus, g a1 = h'-1 f h a1, d'où, d’après (2),
- g a1 = h'-1 f x.
Comme f appartient à Gx, cela revient à
- g a1 = h'-1 x,
ou encore, d’après (3), à
- ga1 = b1.
Joint à (4), cela prouve la thèse (1).
Remarque. L'énoncé de ce problème revient à dire que si k est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins k éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément x de X, Gx désigne le stabilisateur de x dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et pour tout élément x de X, l'action de Gx sur X - {x} est (k-1)-transitive;
3° l'action de G sur X est transitive et il existe un élément x de X tel que l'action de Gx sur X - {x} soit (k-1)-transitive.