Théorie des groupes/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

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On va exposer ici quelques notions sur les opérations transitives, les opérations n fois transitives et les opérations primitives d'un groupe sur un ensemble. On se limitera à quelques énoncés qui permettront de résoudre dans un chapitre suivant la question de la simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs. Quelques compléments seront donnés en exercice.

Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Chapitre no 33
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
Chap. suiv. :Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

Exercices :

Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Rappels

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Si un groupe G opère sur un ensemble X, si H est un sous-groupe de G, l'opération de G induit de façon évidente une opération de H sur X. C'est toujours de cette opération qu’il s'agira quand nous parlerons d'une opération de H sans préciser laquelle.



Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Appliquer le premier théorème d'isomorphisme à l'homomorphisme de G dans SX associé à l'opération de G sur X.


Si un groupe G opère transitivement sur un ensemble X, on dit que X est un G-ensemble homogène[2] ou encore un G-espace homogène[3].

Début d’un théorème
Fin du théorème


Opérations k fois transitives

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Il est clair qu'un G-ensemble est 1-transitif si et seulement s'il est transitif.

Opérations primitives

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Il est clair que l’ensemble vide, les parties de X à un élément et X lui-même sont des blocs relativement à n’importe quelle opération de groupe sur X.



Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soit G un groupe opérant de façon deux fois transitive sur un ensemble X. Soit B une partie de X distincte de X et comptant au moins deux éléments. Il s'agit de prouver que B n’est pas un bloc de l'opération en question. Par hypothèse sur B, nous pouvons choisir deux éléments distincts x et y dans B et un élément z de X qui n'appartient pas à B. Puisque l'opération de G sur X est deux fois transitive, il existe un élément g de G tel que gx = y et gy = z. Alors B et gB ne sont pas disjoints (car ils comprennent tous deux y) et ils ne sont pas égaux (car gB comprend z, qui n'appartient pas à B), donc B n’est pas un bloc.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Soit x un élément de X, prouvons que Hx est un bloc. Pour tout élément g de G, nous avons gH = Hg (puisque H est sous-groupe normal de G), d'où gHx = Hgx. Si   on a donc  , d'où (comme deux orbites pour l'action de H sont égales ou disjointes) Hgx = Hx, autrement dit gHx = Hx, ce qui prouve que Hx est un bloc.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Puisque, par définition, une opération primitive est transitive, l'opération de G est transitive, donc X n’est pas vide. Il reste à prouver que, pour tout élément x de X, Hx = X. D'après le lemme précédent, Hx est un bloc de l'opération de G sur X. Puisque l'opération de G est supposée primitive, il suffit donc de prouver que Hx a au moins deux éléments. Puisque H n'est pas inclus dans le noyau de l'opération, il contient un élément h qui ne fixe pas un élément y de X. Puisque G agit transitivement, il contient un élément g tel que y = gx. On a alors hgxgx, autrement dit kxx pour k = g–1hg, élément de H car H est normal dans G. Ainsi, Hx contient au moins deux éléments : x et kx.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. D'après les hypothèses, G est engendré par

 

donc par H et K. Si de plus H est normal dans G, on en déduit G = HK. D'après le second théorème d'isomorphisme, G/H est donc isomorphe à un quotient de K. Si, de plus, K est commutatif, G/H est donc commutatif, donc H contient le dérivé de G.

Le théorème suivant est une des différentes formes du critère d'Iwasawa qu'on trouve dans la littérature[4].

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Commençons par prouver la partie a) de l'énoncé. Soit H un sous-groupe normal de G non contenu dans le noyau de l'action de G sur X. Il s'agit de prouver que H = G. Puisque G opère primitivement sur X, il résulte d'un théorème ci-dessus que H opère transitivement sur X. D'après l'argument de Frattini (forme générale), on a donc G = HS, où S désigne le stabilisateur de x dans G. Donc, d’après le précédent lemme, H contient le dérivé de G. Puisque, par hypothèse, G est parfait, H est donc égal à G, ce qui prouve la partie a) de l'énoncé.

La partie b) se tire facilement de la partie a). Par définition d'une action primitive, l'action de G sur X est transitive, donc, puisque X est supposé comprendre au moins deux éléments, cette action n'est par triviale, autrement dit, si K désigne le noyau de cette action, le groupe G/K n'est pas trivial, ce qui est une première condition à satisfaire pour être simple. Soit maintenant N un sous-groupe normal de G/K non réduit à l'élément neutre. D'après le théorème de correspondance, N est de la forme H/K, où H est un sous-groupe normal de G contenant K et non réduit à K. D'après la partie a) de l'énoncé, H est égal à G tout entier, donc N, étant égal à H/K, est égal à G/K tout entier, ce qui achève de prouver que le groupe G/K est simple.

Notes et références

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  1. Définition conforme à Marc Hindry, Université Paris 7, Cours d’algèbre au magistère de Cachan, en ligne, p. 6.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 5, Paris, 1970, p. 56.
  3. P. Tauvel, Algèbre, 2e éd., Paris, 2005, p. 65.
  4. Le théorème qui suit est donné (sous une forme un peu plus forte) dans Donald E. Taylor, The Geometry of the Classical Groups, 1992, théorème 1.2.