Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1

Représentations complexes des groupes finis, 1
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Exercices no39
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Représentations complexes des groupes finis, 1

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Théorème de Maschke
Exo suiv. :Représentations complexes des groupes finis, 2
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Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1
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Problème 1Modifier

Soit G un groupe fini. Donner une démonstration des deux remarques suivantes, énoncées dans le chapitre théorique :

  1. (V4) Deux  -représentations de G de degré n, l'une vectorielle, T, et l'autre matricielle, U, se correspondent, si et seulement si T est équivalente à la représentation vectorielle T' définie par :
    pour tout élément g de G, T'(g) est l'automorphisme de   de matrice U(g) dans la base canonique.
  2. (M3) Deux  -représentations matricielles de G de degré n, U1 et U2, sont équivalentes si et seulement si les  -représentations vectorielles T1 et T2 définies comme suit sont équivalentes :
    pour tout élément g de G, Ti(g) est l'automorphisme de   de matrice Ui(g) dans la base canonique.

Problème 2Modifier

On va construire un exemple de  -représentation irréductible de degré 2.
a) Soit   une racine primitive troisième de l'unité, c'est-à-dire une racine cubique de 1 distincte de 1. Cela revient à dire que   est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps  . (On peut par exemple prendre   )
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe   dans le groupe   qui applique

(1 2 3) sur  

et

(1 2) sur  .

(Indication : on peut utiliser le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » du chapitre Groupes diédraux.)

b) Prouver que U est une  -représentation matricielle irréductible de degré 2 de  .

Remarque. Nous avons ainsi trouvé une  -représentation vectorielle (resp. matricielle) irréductible de degré 2 du groupe diédral  . Dans un chapitre ultérieur, nous déterminerons (à équivalence près) toutes les  -représentations irréductibles des groupes diédraux.