Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1

Problème 1

Soit G un groupe fini. Donner une démonstration des deux remarques suivantes, énoncées dans le chapitre théorique :

1. (V4) Deux $\mathbb {C}$-représentations de G de degré n, l'une vectorielle, T, et l'autre matricielle, U, se correspondent, si et seulement si T est équivalente à la représentation vectorielle T' définie par :

   pour tout élément g de G, T'(g) est l'automorphisme de $\mathbb {C} ^{n}$ de matrice U(g) dans la base canonique.

2. (M3) Deux $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G de degré n, U₁ et U₂, sont équivalentes si et seulement si les $\mathbb {C}$-représentations vectorielles T₁ et T₂ définies comme suit sont équivalentes :

   pour tout élément g de G, T_i(g) est l'automorphisme de $\mathbb {C} ^{n}$ de matrice U_i(g) dans la base canonique.

Solution

Notons B' la base canonique de $\mathbb {C} ^{n}$.

1. $T:G\to \operatorname {GL} (V)$ et $U:G\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ se correspondent si et seulement si, pour une certaine base B de V (numérotée), on a :

   $\sigma _{B,V}\circ T=U$

   c'est-à-dire, par définition de T' :

   pour tout élément g de G, la matrice de T(g) dans B est égale à la matrice de T'(g) dans B'.

   En notant $f$ le $\mathbb {C}$-isomorphisme de $\mathbb {C} ^{n}$ dans V qui envoie B' sur B, cela équivaut à :

   pour tout élément g de G, $T(g)=f\circ T'(g)\circ f^{-1}$.

   Donc T et U se correspondent si et seulement si T et T' sont équivalentes.

2. U₁ et U₂ sont équivalentes si et seulement si, pour une certaine matrice $M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$, on a :

   pour tout élément g de G, $U_{2}(g)=M\ U_{1}(g)\ M^{-1}$

   c'est-à-dire, par définition de T₁ et T₂ et en notant $f=\tau _{B',\mathbb {C} ^{n}}(M)$ (donc $M=\sigma _{B',\mathbb {C} ^{n}}(f)$) :

   pour tout élément g de G, $T_{2}(g)=f\circ T_{1}(g)\circ f^{-1}$.

   Donc U₁ et U₂ sont équivalentes si et seulement si T₁ et T₂ sont équivalentes.

 

Problème 2

On va construire un exemple de $\mathbb {C}$-représentation irréductible de degré 2.
a) Soit $\rho$ une racine primitive troisième de l'unité, c'est-à-dire une racine cubique de 1 distincte de 1. Cela revient à dire que $\rho$ est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps $\mathbb {C}$. (On peut par exemple prendre $\rho =e^{{\frac {2\pi }{3}}i}=\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}},$ où $i^{2}=-1.$)
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe $S_{3}$ dans le groupe $\mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )$ qui applique

(1 2 3) sur ${\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}$

et

(1 2) sur ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$.

(Indication : on peut utiliser le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » du chapitre Groupes diédraux.)

Solution

Dans le groupe $S_{3}$, l'élément (1 2 3) est d'ordre 3, l'élément (1 2) est d'ordre 2 et

(1 2) (1 2 3) (1 2)^-1 = (12 3)^-1.

D'autre part, puisque $\rho$ est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps $\mathbb {C}$, la matrice ${\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}$ est un élément d'ordre 3 du groupe $\mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )$ (voir la formule donnant les puissances d'une matrice diagonale).
De plus, la matrice ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$ est un élément d'ordre 2 du groupe $\mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )$ et

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}^{-1}$

(dans le premier membre, remplacer ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}^{-1}$ par ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$ et, pour calculer le second membre, utiliser la formule donnant l'inverse d'une matrice diagonale).
Comme (1 2) et (1 2 3) engendrent $S_{3}$ (par exemple parce qu'ils engendrent un sous-groupe dont l'ordre est divisible par 2 et par 3), il résulte de ce qui précède et de théorèmes du chapitre Groupes diédraux, notamment du théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral », que $S_{3}$ est diédral (d'ordre 6) et qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe $S_{3}$ dans le groupe $\mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )$ qui applique

(1 2 3) sur ${\begin{pmatrix}\rho &0\\0&\rho ^{-1}\\\end{pmatrix}}$

et

(1 2) sur ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$.

 

b) Prouver que U est une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible de degré 2 de $S_{3}$.

Solution

Puisque U est un homomorphisme du groupe $S_{3}$ dans le groupe $\mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )$, c'est une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de degré 2 de $S_{3}$. Prouvons que cette représentation est irréductible.
Choisissons un $\mathbb {C}$-espace vectoriel V de dimension 2 et une base $(v_{1},v_{2})$ de V. Soit T la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de $S_{3}$ correspondant à U via la base $(v_{1},v_{2})$. Pour prouver que U est irréductible, il s'agit de prouver que T est irréductible. Puisque V est de dimension 2, cela revient à prouver qu'il n'y a pas de sous-espace W de dimension 1 de V qui soit invariant par chaque élément de $T(S_{3})$. Puisque, comme on l'a noté dans la solution du point a), (1 2 3) et (1 2) engendrent $S_{3}$, cela revient à prouver qu'il n'y a pas de sous-espace W de dimension 1 de V qui soit invariant par T( (1 2 3) ) et par T( (1 2) ).
Supposons que, par absurde, il existe un tel sous-espace W. Alors il existe un élément w non nul de V tel que les images de w par T( (1 2 3) ) et par T( (1 2) ) appartiennent toutes deux à $\mathbb {C} w.$
Soit $w=av_{1}+bv_{2},$ avec a et b dans $\mathbb {C}$.
Dire que l'image de w par T( (1 2 3) ) appartient à $\mathbb {C} w$ revient à dire que $a\rho v_{1}+b\rho ^{-1}v_{2}$ appartient à $\mathbb {C} w$, donc

${\begin{array}{|ccc|}\ a&b\ \\\ a\rho &b\rho ^{-1}\ \\\end{array}}=0,$

$ab(\rho ^{-1}-\rho )=0,$

(1) $\qquad ab=0.$

Dire que l'image de w par T( (1 2) ) appartient à $\mathbb {C} w$ revient à dire que $bv_{1}+av_{2}$ appartient à $\mathbb {C} w$, donc

${\begin{array}{|ccc|}\ a&b\ \\\ b&a\ \\\end{array}}=0,$

(2) $\qquad a^{2}-b^{2}=0.$

De (1), il résulte qu'un au moins des nombres a, b est nul, donc, d'après (2), a et b sont tous deux nuls, donc w = 0, contradiction. Cette contradiction prouve que T est irréductible, donc U l'est aussi. Nous avons donc trouvé une $\mathbb {C}$-représentation matricielle et une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle toutes deux irréductibles et de degré 2.

 

Remarque. Nous avons ainsi trouvé une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle (resp. matricielle) irréductible de degré 2 du groupe diédral $S_{3}$. Dans un chapitre ultérieur, nous déterminerons (à équivalence près) toutes les $\mathbb {C}$-représentations irréductibles des groupes diédraux.