Théorie des groupes/Groupes commutatifs finis, 1

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Dans tout ce chapitre, les groupes commutatifs seront notés additivement. L'élément neutre sera donc noté 0; le symétrique d'un élément x sera noté - x et appelé l'opposé de x; enfin, n étant un entier rationnel, on écrira nx au lieu de xⁿ.

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Ordre d'un composé d'éléments et ordre d'un composé de sous-groupes dans un groupe commutatif fini

Début d'un lemme

Lemme

Soient G un groupe et x₁, ..., x_n des éléments d'ordres finis de G qui commutent entre eux. L'ordre du composé x₁ ... x_n divise le ppcm des ordres de x₁, ..., x_n (et donc aussi le produit de ces ordres).

Fin du lemme

Démonstration. Vu l'associativité du ppcm, il suffit de le démontrer dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur n. Pour le cas n = 2, voir un problème de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément.

Soit G un groupe. Le sous-groupe de G engendré par une famille de sous-groupes de G est parfois appelé le composé de ces sous-groupes. Nous adopterons cette expression, qui rend les expressions un peu moins lourdes.

Début d'un lemme

Lemme

Soient G un groupe commutatif fini et H₁, ..., H_n des sous-groupes de G. Le composé de H₁, ..., H_n est l’ensemble H₁ .H₂ ... H_n.

Fin du lemme

Démonstration. Comme tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, c’est un cas particulier d'un théorème démontré pour les sous-groupes distingués. On peut évidemment le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. (Laissé au lecteur.)

Début d'un lemme

Lemme

Soient G un groupe commutatif fini et H₁, ..., H_n des sous-groupes de G. L'ordre du composé de H₁, ..., H_n divise le produit des ordres de H₁, ..., H_n.

Fin du lemme

Démonstration. Ici encore, c’est un cas particulier d'un théorème relatif aux sous-groupes distingués, mais nous allons le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. Il suffit de démontrer l'énoncé dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur n. Soient donc H₁ et H₂ deux sous-groupes de G; il s'agit de prouver que l’ordre du composé de H₁ et H₂ divise $\vert H_{1}\vert \cdot \vert H_{2}\vert$. D'après le précédent lemme, le composé de H₁ et H₂ est l’ensemble H₁ H₂ et d’après la formule du produit (démontrée au chapitre Produit de groupes), le cardinal de cet ensemble divise $\vert H_{1}\vert \cdot \vert H_{2}\vert$.

Théorème de Cauchy

Pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, on va démontrer le théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs par une méthode qui ne fait intervenir ni les théorèmes de Sylow ni les opérations d'un groupe sur un ensemble.

Début d’un théorème

Théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs.

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier divisant l’ordre de G. Il existe au moins un élément de G qui est d'ordre p.

Fin du théorème

Démonstration. Soient x₁, ..., x_n les éléments de G. Pour chaque i, désignons par <x_i> le sous-groupe de G engendré par x_i. Il est clair que G est égal à l’ensemble <x₁> ... <x_n>. D'après le lemme précédent, il en résulte que l’ordre de G divise $\ \vert <x_{1}>\vert \ldots \vert <x_{n}>\vert$. Puisque p divise l’ordre de G, p divise donc l’ordre d'au moins un <x_i>, ce qui revient à dire que p divise l’ordre d'un élément x de G. Soit rp l’ordre de x, avec r naturel. Alors rx est d'ordre p, ce qui prouve l'énoncé.

Composantes primaires d'un groupe commutatif fini

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Il résulte du théorème de Cauchy que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° l’ordre de G est une puissance de p;
2° tout élément de G a pour ordre une puissance de p.

Définition

Soit p un nombre premier. Un groupe commutatif fini dont l’ordre est une puissance de p, ou, ce qui revient au même, un groupe commutatif fini dont tout élément a pour ordre une puissance de p, est appelé un groupe p-primaire. Nous dirons qu'un groupe G est primaire s'il existe un nombre premier p tel que G soit p-primaire.

Remarque. Il est clair qu'un groupe fini est p-primaire si et seulement si c’est un p-groupe commutatif. Quand on traite de groupes commutatifs, on préfère parler de groupes p-primaires plutôt que de p-groupes.

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Puisque G est commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués. Il en résulte que G admet un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P. Puisque tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G, il est clair que P est l’ensemble des éléments de G dont l’ordre est une puissance de p. Donc, si G est un groupe commutatif fini et p un nombre premier, l’ensemble des éléments de G dont l’ordre est puissance de p est un sous-groupe de G. On rendra cependant le présent chapitre indépendant de la théorie des sous-groupes de Sylow, car on peut le faire à très peu de frais et les théorèmes sur la structure des groupes commutatifs finis (ainsi que certaines de leurs généralisations immédiates) sont utilisés dans des domaines où la notion de sous-groupe de Sylow n'intervient pas.

Début d’un théorème

Théorème

Soient G un groupe commutatif (non forcément fini) et p un nombre premier. Les éléments de G dont l’ordre est une puissance de p forment un sous-groupe de G.

Fin du théorème

Démonstration (indépendante de la théorie des sous-groupes de Sylow) : voir exercices.

Si G est un groupe commutatif fini et p un nombre premier, le sous-groupe de G formé par les éléments ayant pour ordre une puissance de p est évidemment p-primaire.

Définition

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Le sous-groupe de G formé par les éléments dont l’ordre est une puissance de p est appelé la composante p-primaire de G. Nous dirons qu'un sous-groupe H de G est une composante primaire de G s'il existe un nombre premier p divisant l’ordre de G tel que H soit la composante p-primaire de G.

Le théorème qui suit explique cette dénomination.

Début d’un théorème

Théorème

Tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires.

Fin du théorème

Démonstration. C'est un cas particulier d'un théorème que nous avons démontré pour les groupes nilpotents finis, mais, pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, nous allons donner une démonstration indépendante de la théorie des groupes nilpotents. Soit G un groupe commutatif fini, soit n son ordre, soient p₁, ..., p_r les différents facteurs premiers de n. Pour chaque i ( 1 ≤ i ≤ n ), désignons par

$G_{p_{i}}$

la composante p_i-primaire de G.
Il s'agit de prouver que G est la somme directe

$G_{p_{1}}\oplus \ldots \oplus G_{p_{r}}.$

C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Nous supposerons donc qu’il ne l'est pas, d'où r ≥ 1.
Commençons par prouver que tout élément x de G peut s'écrire

$(1)\qquad x=x_{1}+\ldots +x_{r},$

avec

$x_{i}\in G_{p_{i}}$

pour tout i.
Soit

$n=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}$

la décomposition de n en facteurs premiers.
Pour chaque i, posons

$n_{i}=n/p_{i}^{e_{i}}.$

Les n_i sont premiers entre eux dans leur ensemble. En effet, puisque nous supposons r ≥ 1, un facteur premier commun à tous les n_i diviserait au moins un n_i, donc diviserait n, donc serait égal à un p_j. Mais p_j ne divise pas n_j, donc les n_i sont premiers entre eux dans leur ensemble comme annoncé. D'après le théorème de Bézout, il existe donc des entiers rationnels c₁, ... , c_r tels que

$c_{1}n_{1}+\ldots +c_{r}n_{r}=1$

d'où

$(2)\qquad c_{1}n_{1}x+\ldots +c_{r}n_{r}x=x.$

Pour chaque i, c_i n_i x appartient à $G_{p_{i}}$, car :$p_{i}^{e^{i}}(c_{i}n_{i}x)=c_{i}nx=0.$ La relation (2) prouve donc notre thèse (1).
Prouvons maintenant que la décomposition (1) de x en somme d'éléments des composantes primaires de G est unique. Il revient au même de prouver que si

$(3)\qquad x_{1}+\ldots +x_{r}=0$

avec

$x_{i}\in G_{p_{i}}$

pour tout i, alors

$(4)\qquad x_{1}=...=x_{r}=0.$

Pour tout indice j, la relation (3) peut s'écrire

$x_{j}=\sum _{i\not =j}(-x_{i})$.

Chaque terme - x_i du second membre a pour ordre une puissance de p_i et est donc d'ordre premier avec p_j. D'après un précédent lemme, il en résulte que l’ordre du second membre, et donc aussi l’ordre du premier membre, est premier avec p_j. Puisque le premier membre est égal à x_j et a donc pour ordre une puissance de p_j, l’ordre de x_j est à la fois puissance de p_j et premier avec p_j, donc est égal à 1, donc x_j = 0. Ceci étant démontré pour tout indice j, notre thèse (4) est démontrée.

Corollaire 1

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. L'ordre de la composante p-primaire de G est la plus grande puissance de p qui divise l’ordre de G.

Démonstration. C'est banal si p ne divise pas l’ordre de G, donc nous supposerons qu’il le divise. Soient n l’ordre de G, soient p₁, ... , p_s les différents facteurs premiers de n et, pour chaque i, soit $p_{i}^{e_{i}}$ la plus grande puissance de p_i qui divise n. Donc

$(1)\qquad n=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}$.

D'autre part, l’ordre de la composante p_i-primaire de G est de la forme $p_{i}^{f_{i}}$, d'où, d’après le théorème précédent,

$(2)\qquad n=\prod _{i}p_{i}^{f_{i}}$.

La comparaison de (1) et (2) montre que f_i = e_i pour tout i. Comme p est un des p_i, ceci démontre l'énoncé.

Corollaire 2

Soit G un groupe commutatif fini d'ordre ab, où a et b sont des nombres naturels premiers entre eux; G est somme directe d'un sous-groupe d'ordre a et d'un sous-groupe d'ordre b.

Démonstration. Soit $\ a=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}$ la décomposition de a en facteurs premiers, soit $\ b=q_{1}^{f_{1}}\ldots q_{s}^{f_{s}}$ celle de b. Puisque a et b sont premiers entre eux, la décomposition de ab en facteurs premiers est $\ ab=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}q_{1}^{f_{1}}\ldots q_{s}^{f_{s}}$. Donc G est somme directe $H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r}\oplus K_{1}\oplus \ldots \oplus K_{s}$, où, pour chaque i, H_i est d'ordre $\ p_{i}^{e_{i}}$ et où, pour chaque j, K_j est d'ordre $\ q_{j}^{f_{j}}$. Posons $\ A=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r}$ et $\ B=K_{1}\oplus \ldots \oplus K_{s}$. Alors A est d'ordre a, B est d'ordre b et G est somme directe de A et de B, ce qui prouve l'énoncé.
Remarque. Sous les hypothèses du corollaire 2, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre a, qui est l’ensemble des x tels que ax = 0. Voir les exercices.

Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels

Dans cette section, on va utiliser, en les supposant connues du lecteur, les notions les plus classiques sur les espaces vectoriels (bases, dimension). Ces notions et propriétés interviendront encore dans la suite du chapitre.

Définition

Soient G un groupe et n un nombre naturel. Si pour tout élément x de G, xⁿ = 1, on dit que G est d'exposant n.

S'il existe un nombre naturel non nul n tel que le groupe G soit d'exposant n (ce qui est forcément le cas si G est fini, car alors l'ordre de G convient comme nombre n), il existe un plus petit nombre naturel non nul, soit n₀, possédant cette propriété. On montre facilement que n₀ divise tout nombre naturel n tel que G soit d'exposant n.

Définition

Soient G un groupe fini. Le plus petit nombre naturel n tel que xⁿ = 1 pour tout élément x de G (autrement dit tel que G soit d'exposant n) est appelé l'exposant minimal de G, ou encore l'exposant de G.

Soit G un groupe. S'il n'existe pas de nombre naturel non nul n tel que le groupe G soit d'exposant n (ce qui entraîne que G est infini), on définit l'exposant de G comme égal à ∞ (l'infini). (Cela n'importe guère dans le présent chapitre, où tous les groupes considérés sont finis.)

Remarque. Certains auteurs usent d'une autre terminologie. Pour eux, dire que G est d'exposant n revient à dire que n est l'exposant de G.

Début d’un théorème

Théorème

Soit G un groupe commutatif (noté additivement) d'exposant p premier. G est somme directe d'une famille de sous-groupes d'ordre p.

Fin du théorème

Démonstration. Par hypothèse, nous avons p x = 0 pour tout élément x de G. Si r et s sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo p, il est clair que r x = s x. On en tire facilement qu’il existe une (et une seule) application de Z/pZ × G dans G qui, pour tout entier rationnel r et tout élément x de G, applique (r + pZ, x) sur r x. Comme on le vérifie, on munit ainsi G d'une structure d'espace vectoriel sur le corps F_p = Z/pZ, pour laquelle l'addition des vecteurs est la loi de groupe de G. (Pour la structure de corps de Z/pZ, voir le chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z.) Cette structure est unique car si * est la loi externe d'une telle structure d'espace vectoriel et si, de façon générale, [n] désigne la classe résiduelle de n modulo p, on doit avoir [1] * x = x pour tout x dans G, d'où, par récurrence sur n,

[n] * x = n x pour tout x dans G.

Comme tout espace vectoriel, l'espace vectoriel G ainsi défini admet une base, ce qui entraîne que le groupe additif de cet espace vectoriel, autrement dit le groupe additif G, est somme directe d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif du corps F_p, autrement dit au groupe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, ce qui achève la démonstration.

Remarques. 1° De façon générale, soit $G$ un groupe, soit $x$ un élément de $G$; notons $f_{x}$ l'homomorphisme $n\mapsto nx$ de $\mathbb {Z}$ dans $G.$ Si $G$ satisfait aux hypothèses du théorème qui précède, le sous-groupe $p\mathbb {Z}$ de $\mathbb {Z}$ est contenu dans le noyau de $f_{x}$, donc, d'après un énoncé que nous avons appelé « variante du premier théorème d'isomorphisme » (chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient), il existe un et un seul homomorphisme $h_{x}$ du groupe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ dans $G$ tel que, pour tout $n$ dans $\mathbb {Z}$, $h_{x}(n+p\mathbb {Z} )=f_{x}(n)=nx.$ Alors la loi externe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times G\to G:(u,x)\mapsto h_{x}(u)$ et l'addition dans $G$ font de $G$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. C'est une rédaction un peu plus « professionnelle » du début de la démonstration du théorème qui précède.

2° Le fait qu'un groupe abélien d'exposant premier p soit un espace vectoriel sur le corps à p éléments peut se mettre en rapport avec un fait plus général concernant les modules. On a vu au chapitre Groupes, premières notions qu'un groupe abélien G est (d'une et une seule manière) un ℤ-module. De façon générale, si A est un anneau et M un A-module à gauche, l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 pour tout élément x de M est un idéal bilatère de A, appelé l'annulateur de M. Pour tout idéal bilatère J de A contenu dans l'annulateur de M, M se munit de façon évidente d'une structure de (A/J)-module. Si on prend pour A l'anneau ℤ et pour M le ℤ-module G, le fait que G soit d'exposant p revient à dire que l'idéal pℤ de ℤ est contenu dans l'annulateur du ℤ-module G, donc G se munit d'une structure de (ℤ/pℤ)-module, autrement dit d'une structure de $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel.

3° On peut ajouter que dans l'espace vectoriel G, comme dans tout espace vectoriel, toute famille libre peut être complétée en une base et deux bases ont toujours le même cardinal. On vérifie facilement que les sous-groupes de G sont exactement ses sous-F_p-espaces vectoriels.

Définition

Un groupe commutatif d'exposant premier p, autrement dit une somme directe de groupes d'ordre p, est appelé un p-groupe abélien élémentaire. Si le groupe est non nul, le nombre premier p est défini de façon unique.

Chez certains auteurs, un groupe G est dit abélien élémentaire s'il existe un nombre premier p tel que G soit un p-groupe abélien élémentaire. Si G est non nul, ce nombre premier est défini de façon unique.

Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques

Voir aussi « Module sur un anneau/Module sur un anneau principal » (appliqué à l'anneau $\mathbb {Z}$), qui offre même une décomposition de tout groupe abélien de type fini.

Nous allons démontrer le théorème de Kronecker, selon lequel tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques. Puisque nous avons démontré que tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires, il suffira de prouver que si p est un nombre premier, tout groupe (commutatif) p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques.

Définition

Soit G un groupe commutatif. Convenons de dire qu' une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si les x_i sont tous non nuls et si, pour tous entiers rationnels a₁, ..., a_r, la relation a₁ x₁ +...+ a_r x_r=0 entraîne a₁ x₁ = ... = a_r x_r = 0.
Il revient au même de dire que les x_i sont tous non nuls et que le sous-groupe de G engendré par les x_i est somme directe de la famille (<x_i>).

Remarque. À l'intention du lecteur qui connaît la notion de module sur un anneau, notons que la condition a_i x_i = 0 n'entraîne pas forcément a_i = 0, de sorte que l'indépendance qu'on vient de définir n’est pas équivalente à l'indépendance linéaire dans le Z-module G.

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif d'exposant p. Une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si et seulement si c’est une famille linéairement indépendante (autrement dit libre) dans le $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G.

Fin du lemme

Démonstration. Voir les exercices.

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif fini d'exposant p (autrement dit un p-groupe abélien élémentaire). Toute famille indépendante x₁, ... , x_n d'éléments de G peut être étendue en une famille indépendante x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_r telle que

$G=<x_{1}>\oplus \ldots \oplus <x_{n}>\oplus <y_{1}>\oplus \ldots <y_{r}>.$

Fin du lemme

Première démonstration. D'après le lemme qui précède, x₁, ... , x_n d'éléments de G est une famille linéairement indépendante dans le $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G. D'après la théorie des espaces vectoriels, cette famille peut être étendue en une base du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G. Puisque G est fini, cette base est évidemment finie et convient pour la famille x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_r de l'énoncé. (La possibilité d'étendre une partie libre d'un espace vectoriel en une base n'étant pas limitée aux espaces de dimension finie, on voit que l'énoncé reste vrai, mutatis mutandis, si on supprime l'hypothèse selon laquelle G est fini.)

Seconde démonstration. Voici une démonstration qui évite le langage des espaces vectoriels. Il y a au moins une famille indépendante d'éléments de G qui prolonge x₁, ... , x_n, à savoir cette famille elle-même. Nous pouvons donc considérer, parmi les familles indépendantes qui prolongent x₁, ... , x_n, une famille x₁, ... , x_n, ... , x_t pour laquelle t est maximal. Prouvons que

$G=<x_{1}>\oplus \ldots <x_{t}>.$

Désignons par H le second membre et supposons que, par absurde, H ne soit pas G tout entier. Il existe donc un élément y de G qui n'appartient pas au sous-groupe H. Prouvons que $H\cap <y>=0$. Il est clair que y n’est pas nul, donc, puisque G est d'exposant p, y est d'ordre p. Donc l'image de y dans G/H a pour ordre un diviseur de p (voir un problème de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément). Puisque y n'appartient pas à H, l’ordre de son image dans G/H n’est pas égal à 1 et est donc égal à p. Il en résulte que si s est un entier rationnel tel que s y appartienne à H, alors s est divisible par p, donc s y = 0, ce qui montre que $H\cap <y>=0$ comme annoncé. Donc H <y> est somme directe de H et de <y>, donc <x₁> ... <x_t <y> est somme directe

$<x_{1}>\oplus \ldots <x_{t}>\oplus <y>,$

autrement dit (puisque y n’est pas nul) la famille x₁, ... , x_t, y est indépendante, ce qui contredit la maximalité de t. Cette contradiction démontre l'énoncé.

Corollaire

Tout groupe commutatif fini d'exposant premier p est somme directe de sous-groupes cycliques d'ordre p.

Démonstration. D'après le lemme précédent, la famille vide d'éléments d'un tel groupe, qui est indépendante, peut être prolongée en une famille indépendante x₁, ... , x_n telle que

$G=<x_{1}>\oplus \ldots \oplus <x_{n}>.$

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x₁, ..., x_r) une famille d'éléments de G.

Si la famille (px₁, ..., px_r) est indépendante, la famille (x₁, ..., x_r) l'est aussi.

Fin du lemme

Démonstration. Soient a₁, ..., a_r des entiers rationnels tels que

(1) a₁ x₁ + ... + a_r x_r = 0.

Il s'agit de prouver que

(2) a_i x_i = 0 pour tout i.

De la relation (1) résulte

p(a₁ x₁+ ... + a_r x_r) = 0,

ce qui peut s'écrire

a₁ px₁+ ... + a_r px_r,

d'où, puisque la famille (px₁, ..., px_r) est supposée indépendante,

a_i px_i = 0 pour tout i.

Donc l’ordre de px_i divise a_i. Si, pour un i, a_i était non divisible par p, l’ordre de px_i serait donc non divisible par p. Puisque l’ordre de px_i (comme l’ordre de tout élément de G) est une puissance de p, l’ordre de px_i serait donc égal à 1, donc px_i serait nul, ce qui (par définition d'une famille indépendante) contredit l'hypothèse selon laquelle la famille (px₁, ..., px_r) est indépendante.
Nous avons donc prouvé que, dans la relation (1), tous les a_i sont divisibles par p. Posons a_i = p b_i, avec b_i entier rationnel. La relation (1) s'écrit

b₁ p x₁ + ... + b_r p x_r = 0,

d'où, puisque la famille (px₁, ..., px_r) est supposée indépendante,

b_i p x_i = 0 pour tout i,

autrement dit

(2) a_i x_i = 0 pour tout i,

ce qui est notre thèse (2).

Début d'un lemme

Lemme

Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x₁, ..., x_r) une famille indépendante d'éléments de G. Si c₁, ..., c_r sont des entiers rationnels tels que, pour tout i, c_i x_i ≠ 0, alors la famille (c₁ x₁, ..., c_r x_r) est elle aussi une famille indépendante.

Fin du lemme

Démonstration. Nous savons déjà, par hypothèse, que les c_i x_i sont non nuls. Il reste donc à prouver que si a₁, ..., a_r sont des entiers rationnels tels que a₁ c₁ x₁ + ... + a_r c_r x_r = 0, alors a_i c_i x_i = 0 pour tout i. Cela résulte immédiatement du fait que les x_i forment une famille indépendante.

Début d’un théorème

Théorème

Tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques primaires.

Fin du théorème

Démonstration. D'après un précédent théorème, tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires. Il suffit donc de prouver que pour tout nombre premier p, tout groupe p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques.
Soit G un groupe p-primaire. Il existe un nombre naturel n tel que G soit d'exposant pⁿ, par exemple le nombre naturel n tel que G soit d'ordre pⁿ. Notre thèse peut s'exprimer comme suit : tout groupe p-primaire d'exposant n est somme directe de sous-groupes cycliques. Nous allons prouver cet énoncé par récurrence sur n. C'est banal si n = 0 car alors G est réduit à l'élément neutre et est par exemple somme directe d'une famille vide de sous-groupes cycliques. Si n = 1, notre thèse est l'énoncé d'un lemme démontré ci-dessus. Supposons que n soit un nombre naturel ≥ 2 tel que notre thèse soit vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant p^n-1 et prouvons qu'elle est vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant pⁿ.

Soit donc G un groupe p-primaire d'exposant pⁿ. Il s'agit de prouver que G est somme directe de sous-groupes cycliques. Désignons par $\ pG$ l’ensemble des éléments de G de la forme p x avec x dans G, et par G_p l’ensemble des éléments x de G tels que p x = 0. Il est clair que p G est un groupe d'exposant n - 1 et G_p un groupe d'exposant p. Par hypothèse de récurrence, p G est somme directe de sous-groupes cycliques, donc il existe des éléments x₁, ... , x_r de G tels que

$(1)\qquad pG=<px_{1}>\oplus \ldots <px_{r}>.$

Nous pouvons évidemment choisir les x_i de sorte que tous les p x_i soient non nuls. La relation (1) montre alors que les p x_i forment une famille indépendante d'éléments de G. D'après un précédent lemme, les x_i forment eux aussi une famille indépendante. Donc le sous-groupe X de G engendré par les x_i est somme directe des <x_i> :

$X=<x_{1}>\oplus \ldots \oplus <x_{r}>.$

Pour chaque i, désignons par c_i l’ordre de p x_i. Prouvons que l’ordre de c_i x_i est égal à p. Nous avons

p c_i x_i = 0,

donc c_i x_i est d'ordre 1 ou p. S'il était d'ordre 1, c'est-à-dire s'il était nul, on aurait

$(2)\qquad c_{i}x_{i}=0.$

D'autre part, puisque les p x_i ont été choisis non nuls, les c_i sont tous distincts de 1. Puisque tout élément de G a pour ordre une puissance de p, les c_i sont donc tous divisibles par p. Posons c_i = p c'_i. La relation (2) peut s'écrire

$\qquad c'_{i}px_{i}=0$

avec 0 < c'_i < c_i, ce qui contredit le fait que p x_i est d'ordre c_i. Nous avons donc prouvé que, pour tout i, c_i x_i est d'ordre p, autrement dit que c_i x_i appartient à G_p et est non nul. D'après un précédent lemme, il en résulte que les c_i x_i forment une famille indépendante d'éléments de G_p (et donc une famille libre dans le F_p-espace vectoriel G_p). D'après un autre lemme démontré plus haut, cette famille peut être étendue en une famille indépendante qui engendre G_p (autrement dit en une base du F_p-espace vectoriel G_p). Choisissons une telle famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s. Désignons par Y le sous-groupe de G_p engendré par les y_j. Puisque les y_j font partie d'une famille indépendante, ils forment eux-mêmes une famille indépendante, donc Y est somme directe des <y_j> :

$Y=\langle y_{1}\rangle \oplus \ldots \oplus \langle y_{s}\rangle$.

Prouvons que G est somme directe de X et de Y. Prouvons tout d’abord que $X\cap Y=0.$ Soit g un élément de $X\cap Y.$ Il s'agit de prouver que g est nul. Puisque g appartient à la fois à X et à Y, nous avons à la fois

$(3)\qquad g=\sum a_{i}x_{i}$

et

$(4)\qquad g=\sum b_{j}y_{j}.$

Puisque g appartient à Y, qui est contenu dans G_p, p g = 0, donc

$\sum a_{i}px_{i}=0,$

donc, puisque les p x_i sont indépendants, a_i p x_i = 0 pour tout i. Puisque l’ordre de p x_i est c_i, il en résulte que, pour chaque i, a_i est divisible par c_i. Soit a_i = a'_i c_i, où a'_i est un nombre naturel. La relation (3) peut s'écrire

$g=\sum a'_{i}c_{i}x_{i},$

d'où, par comparaison avec (4)

$\sum a'_{i}c_{i}x_{i}-\sum b_{j}y_{j}=0.$

Puisque la famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s a été choisie indépendante, nous avons donc b_j y_j = 0 pour tout j, donc g = 0, ce qui prouve que $X\cap Y=0.$ Prouvons maintenant que X + Y = G. Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g est somme d'un élément de X et d'un élément de Y. Puisque p g appartient à p G, il résulte de (1) qu’il existe une famille (a_i) d'entiers rationnels telle que

$pg=\sum a_{i}px_{i}.$

On a alors

(5) $g-\sum a_{i}x_{i}\in G_{p}.$

Puisque la famille famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s engendre G_p, il résulte clairement de (5) que g appartient à X + Y, comme annoncé.

Début d’un théorème

Théorème

Tout groupe commutatif fini peut s'écrire comme somme directe

$G=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r},$

où les H_i sont cycliques et où, n_i désignant l’ordre de H_i,

$n_{1}\vert n_{2}\vert \ldots \vert \ n_{r}$.

Fin du théorème

Démonstration. Soient p₁, ... , p_s les différents facteurs premiers de l’ordre de G. Pour chaque i, désignons par G_i la composante p_i-primaire de G. D'après des résultats précédents,

(1) $G=G_{1}\oplus \ldots \oplus G_{s}$

et chaque G_i est somme directe de groupes cycliques :

(2) $G_{i}=C_{i,1}\oplus \ldots C_{i,r_{i}}$

où, pour un i donné, chaque C_{i, j} est un sous-groupe p_i-primaire de G. Étant donné un i, nous pouvons évidemment indexer les C_{i, j} de sorte que pour tout j tel que j < r_i, l’ordre de C_{i, j} divise l’ordre de C_{i, j + 1}. De plus, quitte à ajouter des sous-groupes nuls au début de la décomposition de certains G_i, nous pouvons évidemment supposer que tous les r_i ont une même valeur r. La relation (2) s'écrit alors

(3) $G_{i}=C_{i,1}\oplus \ldots \oplus C_{i,r}.$

Pour tout j (1 ≤ j ≤ r), posons

(4) $H_{j}=C_{1,j}\oplus \ldots \oplus C_{s,j}.$

De (1) et (3) résulte (compte tenu de l' « associativité » et de la « commutativité » de la somme interne)

(5) $G=H_{1}\oplus \ldots H_{r}.$

D'après (4), chaque H_j est somme directe de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, donc chaque H_j est cyclique. De plus

(6) $\vert H_{j}\vert =\vert C_{1,j}\vert \cdot \ldots \cdot \vert C_{s,j}\vert .$

Nous avons choisi les C_i,j de sorte que, si j < r, alors, pour chaque i, l’ordre de C_i,j divise l’ordre de C_{i,j + 1}. Il résulte donc de (6) que, si j < r, l’ordre de H_j divise l’ordre de H_{j + 1}. L'énoncé est donc démontré.

Définition

Si un groupe commutatif fini G peut s'écrire comme somme directe

$G=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r},$

où les H_i sont cycliques non nuls et où, n_i désignant l’ordre de H_i,

$n_{1}\vert n_{2}\vert \ldots \vert \ n_{r},$

on dit que G admet la suite de facteurs invariants (n₁, ... n_r).

D'après le théorème précédent, tout groupe commutatif fini admet au moins une suite de facteurs invariants. Nous verrons plus loin que la suite de facteurs invariants d'un groupe commutatif fini donné est unique. Notons que les facteurs invariants sont les ordres de groupes non nuls, donc 1 ne figure jamais parmi les facteurs invariants.

Dans cette première partie du chapitre sur les groupes commutatifs finis, nous avons démontré des théorèmes d'existence relatifs à certains types de décompositions. Dans la seconde partie, nous démontrerons des théorèmes d'unicité relatifs à ces décompositions.