Théorie des groupes/Groupes dicycliques

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Dans ce chapitre, nous allons définir les groupes dicycliques, dont le groupe des quaternions et les groupes quaternioniens généralisés constituent des cas particuliers importants.

Groupes dicycliques
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Chapitre no 27
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Holomorphe d'un groupe
Chap. suiv. :Transfert, théorème du complément normal de Burnside

Exercices :

Groupes dicycliques
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Théorie des groupes/Groupes dicycliques
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Définition et table de multiplication des groupes dicycliques

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Remarques. 1° Puisqu'un groupe cyclique d'ordre pair comprend un seul élément d'ordre 2, la condition b2 = aord(a)/2 revient à dire que b2 est égal à l'unique élément d'ordre 2 du sous-groupe engendré par a.

2° Selon notre définition, un groupe cyclique d'ordre 4 est un groupe dicyclique (prendre pour a l'unique élément d'ordre 2 et pour b un des deux éléments d'ordre 4). Nous donnerons plus loin des exemples moins triviaux. Certains auteurs, d'ailleurs, excluent les groupes cycliques d'ordre 4 des groupes dicycliques.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Dans le lemme qui suit, le point c) (qui peut être considéré comme fournissant une « table de multiplication » du groupe G) ne doit pas être mémorisé.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Exemples de construction des groupes dicycliques

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Jusqu'ici, nous avons trouvé des conditions nécessaires auxquelles doivent satisfaire les groupes dicycliques, mais nous n'avons pas prouvé qu’il en existe (à part le cas banal des groupes cycliques d'ordre 4).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Puisque deux groupes dicycliques du même ordre sont isomorphes, on dit volontiers « le groupe dicyclique d'ordre 4n ». On le note DCn, Dicn ou encore Q4n. Toutefois, la troisième notation est souvent réservée au cas où l’ordre du groupe dicyclique est une puissance de 2, cas dans lequel on adopte la définition suivante :


Pour désigner un groupe dicyclique d'ordre 4n, on adoptera ici la notation DCn, mais on préférera la notation Q4n si ce groupe est quaternionien généralisé. (Certains auteurs notent Qm le groupe quaternionien généralisé d'ordre 2m, mais on ne les suivra pas ici.)

Quelques traits de la structure des groupes dicycliques

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. Du fait qu'un groupe dicyclique n'a qu'un élément d'ordre 2, on déduit facilement qu'un groupe dicyclique dont l'ordre est une puissance de 2, autrement dit un groupe quaternionien généralisé, n'a pas de décomposition non triviale en produit semi-direct, c'est-à-dire que les seules façons d'exprimer un tel groupe G comme produit semi-direct sont G⋊1 et 1⋊G.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. Les groupes dont tous les sous-groupes sont normaux, appelés groupes de Dedekind, sont classifiés[1].

Automorphismes d'un groupe dicyclique

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. Ce théorème ne peut pas être étendu au cas où n = 2, comme le montre le théorème suivant.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Notes et références

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  1. Voir (en) D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, 1996, 2e éd. [lire en ligne], p. 143-145 .