Théorie des groupes/Théorème de Jordan-Hölder

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L'objet de ce chapitre est de fournir une démonstration du théorème de Jordan-Hölder. Ce théorème n’est pas démontré dans tous les ouvrages d’introduction à la théorie des groupes et ne servira pas souvent dans la suite. On laisse donc le lecteur apprécier l’intérêt que ce chapitre présente pour lui.

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Suites de composition

Définition

Soit G un groupe. On appelle suite de composition de G toute suite finie de sous-groupes $(G_{i})_{0\leq i\leq n}$ telle que $G=G_{0}\geq G_{1}\geq \ldots \geq G_{n}=1$ et que, pour chaque i ($0\leq i\leq n-1$), $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_{i}$.

Les groupes quotients $G_{i}/G_{i+1}$ sont appelés les quotients de cette suite et le nombre naturel n est appelé la longueur de cette suite. On peut noter que la longueur de la suite est le nombre de ses quotients. Nous dirons que la suite est strictement décroissante si, pour tout i ($0\leq i\leq n-1$), G_i+1 est strictement contenu dans G_i.
Un groupe admet une suite de composition de longueur nulle si et seulement s'il est réduit à l'élément neutre. Tout groupe G non réduit à l'élément neutre admet une suite de composition strictement décroissante de longueur 1 (puisque 1 est distingué dans G).

Remarque. Soient G un groupe, E un ensemble fini totalement ordonné, a son premier et z son dernier élément. Soit $(G_{x})_{x\in E}$ une famille de sous-groupes de G indexée par E. On peut étendre la définition qui précède en disant que la séquence $(G_{x})_{x\in E}$ est une suite de composition de G (relativement à l’ordre considéré dans E) si $G_{a}=G$, $G_{z}=1$ et que, pour tout élément x de E-{z}, si y désigne le successeur de x, $G_{y}$ est sous-groupe distingué de $G_{x}$. On pourrait se ramener à la définition précédente en numérotant $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ les éléments de E selon l’ordre défini dans E et en posant $H_{i}=G_{x_{i}}$, de sorte que $(G_{x})_{x\in E}$ est une suite de composition de G au nouveau sens si et seulement si $(H_{i})_{0\leq i\leq n}$ est une suite de composition au premier sens, mais la définition étendue a l'avantage de ne pas exiger une numérotation explicite des indices, l'essentiel étant de préciser quel est le successeur d'un indice donné. Nous utiliserons ce fait dans la démonstration du théorème de Schreier.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $G=G_{0}\geq G_{1}\geq \ldots \geq G_{n}=1$ une suite de composition d'un groupe G. L'ordre de G est égal au produit $\prod _{0\leq i\leq n-1}\vert G{i}/G{i+1}\vert$ des ordres des quotients de la suite.

Fin du théorème

Démonstration. Récurrence facile sur la longueur n de la suite, en notant que $\vert G\vert =\vert G/G_{1}\vert \cdot \vert G_{1}\vert$ et que $G_{1}$ admet la suite de composition $G_{1}\geq G_{2}\geq \ldots \geq G_{n}=1$.

Définition

Soient $\Sigma _{1}=(G_{i})_{0\leq i\leq r}$ et $\Sigma _{2}=(H_{j})_{0\leq j\leq s}$ deux suites de composition d'un même groupe G. On dit que $\Sigma _{2}$ est un raffinement de $\Sigma _{1}$, ou encore que $\Sigma _{2}$ est plus fine que $\Sigma _{1}$, ou encore que $\Sigma _{1}$ est moins fine que $\Sigma _{2}$, si $\Sigma _{1}$ est extraite de $\Sigma _{2}$, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j₀ < j₁ ... < j_r = s tels que $G_{i}=H_{j_{i}}$ pour tout i ($0\leq i\leq r$). Si $\Sigma _{2}$ est plus fine que $\Sigma _{1}$ et distincte de $\Sigma _{1}$, on dit que $\Sigma _{2}$ est strictement plus fine que $\Sigma _{1}$.

Notons qu'une suite extraite d'une suite de composition n’est pas forcément une suite de composition, car, comme nous l'avons vu au chapitre Groupes alternés, la relation « est un sous-groupe distingué de » n’est pas transitive.

Suites de Jordan-Hölder

Début d'un lemme

Observation

Soit $\Sigma$ une suite de composition d'un groupe G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
a) $\Sigma$ est strictement décroissante et n'admet pas d’autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même;
b) chaque groupe apparaissant dans la suite, à partir du second, est un sous-groupe normal maximal du précédent;
c) les quotients de $\Sigma$ sont tous des groupes simples.

Fin du lemme

Démonstration. Désignons la suite $\Sigma$ par $\ (G_{i})_{0\leq i\leq n}.$. Supposons a) satisfaite et prouvons b). Il s'agit de prouver que pour 0 ≤ i ≤ n-1, G_i+1 est sous-groupe normal maximal de G_i. Dans le cas contraire, il existe un sous-groupe normal H de G_i tel que G_i+1 < H < G_i. Puisque G_i+1 est normal dans G_i, il est normal dans H, donc la suite

G₀ > ... > G_i > H > G_i+1 > ... > G_n = 1

est un raffinement de $\Sigma$ strictement décroissant et distinct de $\Sigma$, ce qui contredit notre hypothèse a). Donc a) entraîne b).

Réciproquement, supposons b) et prouvons a). Puisqu'un sous-groupe normal maximal est par définition un sous-groupe propre, la suite $\Sigma$ est strictement décroissante. Si elle admettait un raffinement strictement décroissant autre qu'elle-même, il existerait un i (0 ≤ i ≤ n-1) et des H_j (1 ≤ j ≤ r pour un certain r ≥ 1) tels que

G_i > H₁ > ... > H_r > G_i+1

et que, notamment, H₁ soit sous-groupe normal de G_i. Cela contredit le fait que G_i+1 est sous-groupe normal maximal de G_i. Donc b) entraîne a).

Donc les conditions a) et b) sont équivalentes. Nous avons vu dans le chapitre sur les sous-groupes distingués et les groupes quotients que si H est un sous-groupe normal d'un groupe G, alors H est sous-groupe normal maximal de G si et seulement si le groupe quotient G/H est simple; donc les conditions a) et b) équivalent à la condition c).

Définition

On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition dont tous les quotients sont des groupes simples, ou, ce qui revient au même, une suite de composition strictement décroissante qui n'a pas d’autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même.

Début d’un théorème

Théorème

Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder.

Fin du théorème

Démonstration. Tout groupe G admet au moins une suite de composition strictement décroissante : une suite de longueur 0 si G = 1 et la suite formée de G et de 1 dans le cas contraire. Soit G un groupe fini. Nous avons vu que pour toute suite de composition de G, le produit des ordres des quotients de la suite est égal à l’ordre de G. Si la suite est strictement décroissante, les ordres des quotients sont au moins égaux à 2, donc $\vert G\vert \geq 2^{n}>n$, où n désigne la longueur de la suite. Donc si G est un groupe fini, il admet au moins une suite de composition strictement décroissante et l’ensemble des longueurs de ses suites de composition strictement décroissantes est borné. Parmi les suites de composition strictement décroissantes de G, on peut donc en trouver une dont la longueur est maximale. Il est clair que cette suite n'a pas d’autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même et est donc une suite de Jordan-Hölder. (On peut dire aussi que, puisque l’ensemble des sous-groupes de G est fini, les suites de composition strictement décroissantes de G indexées par des intervalles naturels {0, 1, ... , n} forment un ensemble fini; si on ordonne cet ensemble, qui est non vide, par la relation « est moins fine que », il doit donc admettre un élément maximal, c'est-à-dire une suite de Jordan-Hölder.)

Remarque. Il existe des groupes (forcément infinis d’après ce qui précède) qui n'ont pas de suites de Jordan-Hölder. Par exemple, un groupe commutatif infini n'a pas de suite de Jordan-Hölder. En effet, les quotients d'une telle suite seraient simples et commutatifs, donc seraient finis (car on a vu que les groupes simples commutatifs sont les groupes cycliques d'ordre premier), ce qui est absurde, puisque d’après un théorème ci-dessus, l’ordre de G est le produit des ordres des quotients de la suite.

Définition

Soient $(G_{i})_{0\leq i\leq r}$ et $(H_{j})_{0\leq j\leq s}$ deux suites de composition d'un même groupe G. On dit que ces deux suites de composition sont équivalentes (ou encore isomorphes) si r = s et qu’il existe une permutation $\sigma$ de l’ensemble $\{0,1,\ldots ,r-1\}$ telle que pour tout i ($0\leq i\leq r-1$), le groupe quotient $G_{i}/G_{i+1}$ soit isomorphe au groupe quotient $H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)+1}$.

Il est clair que toute suite équivalente à une suite de Jordan-Hölder est elle-même une suite de Jordan-Hölder (car ses quotients sont tous des groupes simples).

Remarque. Si, comme indiqué plus haut, on étend la définition des suites de composition de sorte qu’elles puissent être indexées par n’importe quel ensemble fini totalement ordonné, la définition de l'équivalence de deux suites de composition se modifie comme suit. Soient G un groupe, I et J deux ensembles finis totalement ordonnés, $\ (G_{i})_{i\in I}$ et $\ (H_{j})_{j\in J}$ deux suites de composition de G. On dit que ces deux suites de composition sont équivalentes si, $\ I'$ désignant $\ I$ privé de son dernier élément, $\ J'$ désignant $\ J$ privé de son dernier élément, $\ succ_{I}(i)$ désignant pour tout $i\in I'$ le successeur de i dans I, $\ succ_{J}(j)$ désignant pour tout $j\in J'$ le successeur de j dans J, il existe une bijection $\ \sigma$ de I' sur J' telle que pour tout élément i de I', le groupe quotient $G_{i}/G_{succ_{I}(i)}$ soit isomorphe au groupe quotient $H_{\sigma (i)}/H_{succ_{J}(\sigma (i))}$. Nous nous servirons de ceci dans la démonstration du théorème de Schreier.

Pour démontrer dans la suite que certaines suites de composition sont équivalentes, nous nous servirons du lemme suivant :

Début d'un lemme

Lemme de Zassenhaus

Soient $H$ et $K$ des sous-groupes d'un groupe $G$, $H'$ et $K'$ des sous-groupes distingués de $H$ et de $K$ respectivement. Alors

$H'(H\cap K')$ est un sous-groupe distingué de $H'(H\cap K)$

$K'(H'\cap K)$ est un sous-groupe distingué de $K'(H\cap K)$

et les groupes quotients

$(H'(H\cap K))/(H'(H\cap K'))$ et $(K'(H\cap K))/(K'(H'\cap K))$

sont isomorphes.

Fin du lemme

Démonstration. Notons d’abord que, puisque $H'$ est distingué dans $H$, les ensembles $H'(H\cap K')$ et $H'(H\cap K)$ sont bien des groupes (sous-groupes de H). De même, puisque $K'$ est distingué dans $K$, les ensembles $K'(H'\cap K)$ et $K'(H\cap K)$ sont bien des groupes (sous-groupes de K).
Pour prouver la première assertion de l'énoncé, nous devons prouver que $H'(H\cap K)$est contenu dans le normalisateur de $H'(H\cap K')$ dans G. Comme ce normalisateur est un groupe, il suffit de prouver que $H'$ et $H\cap K$ sont contenus dans le normalisateur de $H'(H\cap K')$. Puisque $H'$ est contenu dans le sous-groupe $H'(H\cap K')$, il est à fortiori contenu dans le normalisateur de ce sous-groupe. Quant à $H\cap K$, il est contenu dans le normalisateur de $H'$ (puisqu’il est contenu dans H, qui est lui-même contenu dans ce normalisateur) et il est aussi contenu dans le normalisateur de $H\cap K'$, puisque du fait que $K'$ est distingué dans $K$, il résulte que $H\cap K'$ est distingué dans $H\cap K$. Ainsi, tout élément de $H\cap K$ normalise à la fois $H'$ et $H\cap K'$, donc normalise $H'(H\cap K')$ (voir par exemple un exercice sur le chapitre des sous-groupes distingués; mais la justification est immédiate dans le présent cas), ce qui revient à dire que $H'(H\cap K')$ est sous-groupe distingué de $H'(H\cap K)$ et prouve la première assertion de l'énoncé.

Vu la symétrie des hypothèses (qui restent inchangées si on permute à la fois H avec K et H' avec K'), la seconde assertion est vraie elle aussi.

Prouvons la troisième assertion de l'énoncé, à savoir

$\ (1?)\qquad (H'(H\cap K))/(H'(H\cap K'))\approx (K'(H\cap K))/(K'(K\cap H'))$.

Puisque K' est contenu dans K, H ⋂ K' est contenu dans H ⋂ K, donc H ⋂ K peut s'écrire (H ⋂ K') (H ⋂ K), donc

$\ (2)\qquad (H'(H\cap K))/(H'(H\cap K'))=(H'(H\cap K')(H\cap K))/(H'(H\cap K'))$.

Nous avons vu que H' (H ⋂ K') est un groupe et que H ⋂ K le normalise, donc, d’après le second théorème d'isomorphisme, le second membre de (2) est isomorphe à

$\ \qquad (H\cap K)/((H'(H\cap K'))\cap (H\cap K))$.

Donc (2) donne

$\ (3)\qquad (H'(H\cap K))/(H'(H\cap K'))\approx (H\cap K)/((H'(H\cap K'))\cap (H\cap K))$.

Transformons le dénominateur du second membre en prouvant que

$\ (4?)\qquad (H'(H\cap K'))\cap (H\cap K)=(H'\cap K)(H\cap K')$.

Chacun des facteurs H' ⋂ K et H ⋂ K' du second membre est contenu dans le premier membre, donc, puisque ce premier membre est un groupe, le second membre est contenu dans le premier. Réciproquement, un élément du premier membre est de la forme h' k', avec h' dans H', k' dans H ⋂ K' et h' k' dans H ⋂ K; ceci entraîne que h' appartient à K, donc à H' ⋂ K, donc le premier membre de (4) est contenu dans le second. Ainsi, les deux membres de (4) sont égaux.
Notons pour la suite qu’il en résulte que (H' ⋂ K) (H ⋂ K') est un sous-groupe de G (ce qu'on pourrait aussi déduire du fait que H' ⋂ K et H ⋂ K' se normalisent mutuellement, car ce sont des sous-groupes normaux de H ⋂ K).
En vertu de (4), la relation (3) peut s'écrire

$\ (5)\qquad (H'(H\cap K))/(H'(H\cap K'))\approx (H\cap K)/((H'\cap K)(H\cap K'))$.

Les hypothèses restant inchangées si on y permute H avec K et H' avec K', nous avons de même

$\ (6)\qquad (K'(H\cap K))/(K'(H'\cap K))\approx (H\cap K)/((H\cap K')(H'\cap K))$.

On a noté que (H' ⋂ K) (H ⋂ K') est un sous-groupe de G et on sait que si A et B sont des sous-groupes d'un même sous-groupe C, si AB est un sous-groupe de G, alors AB = BA. Donc les seconds membres de (5) et de (6) sont égaux. Dès lors, les premiers membres de (5) et (6) sont isomorphes à un même groupe et sont donc isomorphes entre eux, ce qui achève de démontrer l'énoncé.

Début d’un théorème

Théorème de Schreier

Soient $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ deux suites de composition d'un même groupe G. Ces deux suites admettent des raffinements équivalents, c'est-à-dire qu’il existe deux suites de composition équivalentes $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ plus fines respectivement que $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$.

Fin du théorème

Démonstration. Soient $\Sigma _{1}=(G_{i})_{0\leq i\leq r}$ et $\Sigma _{2}=(H_{j})_{0\leq j\leq s}$. Pour tout $i\leq r-1$ et tout $j\leq s$, posons

$G_{i,j}=G_{i+1}(H_{j}\cap G_{i})$.

(Le second membre est un sous-groupe, car $H_{j}\cap G_{i}$, étant contenu dans $\ G_{i}$, normalise $\ G_{i+1}$.) On a en particulier $G_{i,s}=G_{i+1}$ (puisque $H_{s}=1$) et $G_{i,0}=G_{i}$ (puisque $H_{0}=G$). De plus, il résulte de la première partie du lemme de Zassenhaus que si $j+1\leq s$, $G_{i,j+1}$ est sous-groupe distingué de $G_{i,j}$.
Nous avons donc une suite de composition

$G=G_{0,0}\geq G_{0,1}\geq G_{0,2}\geq \ldots \geq G_{0,s-1}\geq$

$G_{1}=G_{1,0}\geq G_{1,1}\geq G_{1,2}\geq \ldots \geq G_{1,s-1}\geq$

$\ldots$

$G_{r-1}=G_{r-1,0}\geq G_{r-1,1}\geq G_{r-1,2}\geq \ldots \geq G_{r-1,s-1}\geq$

$\ 1$.

Nous indexons cette suite par les indices doubles (i, j) tels que $0\leq i\leq r-1$ et $0\leq j\leq s-1$, le dernier sous-groupe, égal à 1, étant à part des autres. (Il n’est pas nécessaire d'expliciter son indice.) Nous ne faisons pas intervenir les indices doubles (i, s), ce qui ne nous fait d'ailleurs rien perdre, puisque, comme nous l'avons noté, $G_{i,s}=G_{i+1}=G_{i+1,0}$. Dans la suite de composition que nous avons construite, le sous-groupe d'indice (i, j), s'il n’est pas le dernier de la suite, est égal à $G_{i,j}=G_{i+1}(H_{j}\cap G_{i})$ et est suivi par $G_{i,j+1}=G_{i+1}(H_{j+1}\cap G_{i})$, ceci étant vrai même si j = s – 1.

Posons de même

$H_{j,i}=H_{j+1}(G_{i}\cap H_{j})$.

pour tout $i\leq r$ et tout $j\leq s-1$. On a en particulier $\ H_{j,r}=H_{j+1}$ (puisque $G_{r}=1$) et $\ H_{j,0}=H_{j}$ (puisque $G_{0}=G$). De plus, il résulte de la première partie du lemme de Zassenhaus que si $i+1\leq r$, $H_{j,i+1}$ est sous-groupe distingué de $H_{j,i}$.

Nous avons ici encore une suite de composition

$G=H_{0,0}\geq H_{0,1}\geq H_{0,2}\geq \ldots \geq H_{0,r-1}\geq$

$H_{1}=H_{1,0}\geq H_{1,1}\geq H_{1,2}\geq \ldots \geq H_{1,r-1}\geq$

$\ldots$

$H_{s-1}=H_{s-1,0}\geq H_{s-1,1}\geq H_{s-1,2}\geq \ldots \geq H_{s-1,r-1}\geq$

$\ 1$.

Nous indexons cette suite par les indices doubles (j, i) tels que $0\leq j\leq s-1$ et $0\leq i\leq r-1$, le dernier sous-groupe, égal à 1, étant à part des autres. (Il n’est pas nécessaire d'expliciter son indice.) Nous ne faisons pas intervenir les indices doubles (j, r), ce qui ne nous fait d'ailleurs rien perdre, puisque, comme nous l'avons noté, $H_{j,r}=H_{j+1}=H_{j+1,0}$. Dans la suite de composition que nous avons construite, le sous-groupe d'indice (j, i), s'il n’est pas le dernier de la suite, est égal à $H_{j,i}=H_{j+1}(G_{i}\cap H_{j})$ et est suivi par $H_{j,i+1}=H_{j+1}(G_{i+1}\cap H_{j})$, ceci étant vrai même si i = r – 1.

À tout indice double $\ (i',j')$ de la suite $(G_{i,j})$ autre que le dernier, faisons correpondre $\ (j',i')$, qui est un indice de la suite $(H_{j,i})$, autre que le dernier. Nous définissons ainsi une bijection de l’ensemble des indices doubles de la première suite autres que le dernier sur l’ensemble des indices doubles de la seconde suite autres que le dernier. Le groupe d'indice (i, j) dans la première de ces deux suites est $G_{i,j}=G_{i+1}(H_{j}\cap G_{i})$ et le quotient de ce groupe par le groupe suivant est

$(G_{i+1}(H_{j}\cap G_{i}))/(G_{i+1}(H_{j+1}\cap G_{i}))$.

D'autre part, le groupe d'indice (j, i) dans la seconde de ces deux suites est $H_{j,i}=H_{j+1}(G_{i}\cap H_{j})$ et le quotient de ce groupe par le groupe suivant est

$(H_{j+1}(G_{i}\cap H_{j}))/(H_{j+1}(G_{i+1}\cap H_{j}))$.

D'après le lemme de Zassenhaus, les deux quotients considérés sont isomorphes, donc les suites de composition $(G_{i,j})$ et $(H_{j,i})$ sont équivalentes. Comme la première est un raffinement de la suite $(G_{i})$ et la seconde un raffinement de la suite $(H_{j})$, le théorème de Schreier est démontré.

Début d’un théorème

Théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes

Soient $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ deux suites de composition strictement décroissantes d'un même groupe G. Ces deux suites admettent des raffinements strictement décroissants équivalents, c'est-à-dire qu’il existe deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ plus fines respectivement que $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$.

Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème précédent, il existe deux suites de composition équivalentes $\ \Sigma ''_{1}$ et $\ \Sigma ''_{2}$ plus fines respectivement que $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$. Puisque $\ \Sigma ''_{1}$ et $\ \Sigma ''_{2}$ sont équivalentes, le nombre de quotients réduits à un élément est le même dans chacune des deux suites. Donc si $\ \Sigma '_{1}$ (resp. $\ \Sigma '_{2}$) désigne la suite de composition obtenue en supprimant les répétitions dans $\ \Sigma ''_{1}$ (resp. $\ \Sigma ''_{2}$), $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ sont deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes. Comme $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ sont elles-mêmes strictement décroissantes par hypothèse, et que $\ \Sigma ''_{1}$ et $\ \Sigma ''_{2}$ sont des raffinements de $\ \Sigma _{1}$ et de $\ \Sigma _{2}$ respectivement, il est clair que $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ sont des raffinements de $\ \Sigma _{1}$ et de $\ \Sigma _{2}$ respectivement, ce qui achève la démonstration.

Début d’un théorème

Théorème de Jordan-Hölder

Deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

Fin du théorème

Démonstration. Soient $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe G. Il s'agit de prouver que ces deux suites sont équivalentes. D'après le théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes, il existe deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ de G qui sont des raffinements de $\ \Sigma _{1}$ et de $\ \Sigma _{2}$ respectivement. Mais une suite de Jordan-Hölder est son seul raffinement strictement décroissant, donc $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ sont respectivement égales à $\ \Sigma _{1}$ et à $\ \Sigma _{2}$. Puisque $\ \Sigma '_{1}$ et $\ \Sigma '_{2}$ sont équivalentes, $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ sont donc équivalentes, comme annoncé.

Début d’un théorème

Théorème

Soit G un groupe admettant une suite de Jordan-Hölder. Toute suite de composition strictement décroissante de G admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.

Fin du théorème

Démonstration. Soit $\ \Sigma$ une suite de composition strictement décroissante de G. Il s'agit de prouver que $\ \Sigma$ admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder. Par hypothèse, nous pouvons choisir une suite de Jordan-Hölder $\ \Sigma _{0}$ de G. D'après le théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes, il existe un raffinement strictement décroissant $\ \Sigma '$ de $\ \Sigma$ et un raffinement strictement décroissant $\ \Sigma '_{0}$ de $\ \Sigma _{0}$ qui sont équivalents. Mais $\ \Sigma _{0}$, étant une suite de Jordan-Hölder, est son seul raffinement strictement décroissant, donc $\ \Sigma '_{0}$ est égale à $\ \Sigma _{0}$ et est en particulier une suite de Jordan-Hölder. Puisque $\ \Sigma '$ est équivalente à la suite de Jordan-Hölder $\ \Sigma '_{0}$, $\ \Sigma '$ est elle aussi une suite de Jordan-Hölder, ce qui prouve que $\ \Sigma$ admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder, comme annoncé.

Remarque : au chapitre sur les groupes à opérateurs, on donnera une forme plus forte au théorème de Jordan-Hölder.

Longueur d'un groupe

Définition

On définit la longueur d'un groupe G comme la borne supérieure, parmi les cardinaux, de l’ensemble des nombres naturels n tels que G admette au moins une suite de composition strictement décroissante de longueur n.

Début d’un théorème

Théorème

Si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, la longueur de ce groupe est égale à la longueur de ses suites de Jordan-Hölder. Dans le cas contraire, la longueur du groupe est le plus petit cardinal infini.

Fin du théorème

Démonstration. Soit G un groupe admettant une suite de Jordan-Hölder. D'après un théorème ci-dessus, toute suite de composition strictement décroissante de G admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder, donc la longueur de toute suite de composition strictement décroissante de G est inférieure ou égale à la longueur des suites de Jordan-Hölder. Il en résulte bien que la longueur du groupe est égale à la longueur de ses suites de Jordan-Hölder. Si maintenant le groupe G n'admet pas de suite de Jordan-Hölder, il résulte de la définition d'une suite de Jordan-Hölder que pour toute suite de composition strictement décroissante S de G, il existe une suite de composition strictement décroissante de G qui est strictement plus fine que S, et donc strictement plus longue que S. Il en résulte évidemment que l’ensemble des longueurs des suites de composition strictement décroissantes de G est un ensemble de nombres naturels non borné dans l’ensemble des nombres naturels. La borne supérieure d'un tel ensemble parmi les cardinaux est le plus petit cardinal infini.

Corollaire

Un groupe est de longueur finie si et seulement s'il admet une suite de Jordan-Hölder.

Début d’un théorème

Théorème

Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. La longueur de G est la somme des longueurs de H et de G/H.

Fin du théorème

Démonstration. Soit S une suite de composition strictement décroissante de H, soit T = (K₀, ..., K_n) une suite de composition strictement décroissante de G/H. Désignons par f l'homomorphisme canonique de G sur G/H et, pour tout i (de 0 à n), posons $\ L_{i}=f^{-1}(K_{i})$. Il résulte du théorème de correspondance que la suite des L_i est strictement décroissante et que, pour tout i < n, L_i+1 est sous-groupe normal de L_i . De plus, L₀ = G et L_n = H. Donc, en faisant suivre la suite des L_i par la suite S, nous obtenons une suite de composition strictement décroissante de G. Il résulte aussi du théorème de correspondance que L_i+1 est sous-groupe normal maximal de L_i si et seulement si K_i+1 est sous-groupe normal maximal de K_i.
Si tout d’abord H ou G/H est de longueur infinie, c'est-à-dire admet des suites de composition strictement décroissantes de longueur arbitraire, ce qui précède montre que G admet des suites de composition strictement décroissantes de longueur arbitraire, autrement dit est de longueur infinie. L'énoncé est donc vrai dans ce cas.
Si maintenant H et G/H sont tous deux de longueur finie, autrement dit s'ils admettent tous deux des suites de Jordan-Hölder, la première partie de la démonstration montre que G admet une suite de Jordan-Hölder qui s'obtient en faisant précéder une suite de Jordan-Hölder de H par une suite de même longueur qu'une suite de Jordan-Hölder de G/H. Ainsi, G admet une suite de Jordan-Hölder dont la longueur est la somme des longueurs de H et de G/H, donc l'énoncé est encore vrai.

Corollaire

Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. La longueur de H est inférieure ou égale à celle de G.

Remarque. Si H est un sous-groupe non normal d'un groupe G, la longueur de H n’est pas forcément inférieure ou égale à celle de G. Par exemple, on a vu au chapitre Groupes alternés que le groupe alterné A₅ est simple et donc de longueur 1; pourtant il contient par exemple un sous-groupe de Klein (produit direct de deux groupes d'ordre 2), et un groupe de Klein est clairement de longueur 2.
Il est même possible qu'un groupe simple, et donc de longueur finie, admette un sous-groupe de longueur infinie. En effet, nous verrons au chapitre Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs que la plupart des groupes linéaires spéciaux projectifs sont simples; parmi ceux-là, il n’est pas difficile d’en trouver qui admettent des sous-groupes monogènes infinis, or nous avons vu qu'un groupe commutatif infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder et est donc de longueur infinie.