Théorie physique des distributions/Exercices/Équations différentielles
Exercice 5-1
modifierMontrer que la distribution de Dirac est une solution de l'équation différentielle :
Vérifions qu'en remplaçant y par la distribution de Dirac dans le premier membre, on obtient bien une distribution nulle.
Exercice 5-2
modifierRésoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :
TH étant la distribution régulière associée à la fonction de Heaviside.
On obtient la solution générale d'une équation différentielle en ajoutant une solution particulière à la solution générale sans second membre.
Compte tenu de la forme du second membre, nous chercherons une solution particulière sous la forme TH.f :
On a donc :
En remplaçant dans :
On obtient :
Ce qui équivaut à :
On se retrouve à résoudre l'équation :
On trouve :
On doit déterminer C tel que f(0) = 0. On trouve C = -1. Une solution particulière de :
est donc :
La solution de l'équation sans second membre :
sous forme fonctionnelle, est :
En ajoutant la solution particulière à la solution sans second membre, on voit que la solution de l'équation :
est défini par :
Exercice 5-3
modifiera - Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :
b - En déduire les solutions de l'équation :
et on utilisera l'exercice 3-3.
b - Pour la deuxième équation, on exprimera le premier membre comme produit de convolution de trois distributions.a - Si T était une fonction y, la solution de l'équation y' - ay = 0 serait y = C.eat. En remarquant que e-aty = C, nous sommes amené à poser intuitivement S = e-at.T et nous voyons que :
Ce qui montre (exercice 3-3) que S est une distribution régulière associée à une fonction constante.
De S = e-at.T, on tire T = eat.S. On en déduit que T est une distribution régulière associée à une fonction du type t ↦ C.eat.
L'équation T' - aT = 0 n'admet donc pas d'autres solutions que les distributions régulières associées à une fonction du type t ↦ C.eat.
b - En ce qui concerne la deuxième équation, nous avons :
La seconde équation à résoudre s'écrit donc :
En remarquant que la première équation pouvait s"écrire :
Et avait pour solution T = C.eat, nous en déduisons par identification que :
Ce qui nous ramène à résoudre l'équation :
On vérifie que cette dernière équation a pour solution particulière :
En résolvant l'équation sans second membre de façon similaire à la première équation, on trouve :
En ajoutant la solution de l'équation sans second membre avec la solution particulière de l'équation avec second membre, on trouve :
En posant A = K et B = C/2a, on voit que la solution de l'équation :
s'écrit :
Exercice 5-4
modifierSoit a, un nombre réel positif.
On se propose de résoudre l'équation :
a - Montrer que cette équation admet pour solution particulière une fonction nulle pour x < 0.
b - En déduire la forme générale des distributions, solutions de l'équation à résoudre.
c - Existe-t-il une solution particulière de l'équation à résoudre qui soit sommable de -∞ à +∞.
a - Comme nous recherchons une solution particulière nulle pour x < 0, nous pouvons rechercher la solution sous la forme TH.f, H étant la fonction de Heaviside et f une fonction à déterminer. On a :
On a donc :
En remplaçant dans :
On obtient :
Ce qui équivaut à :
D'après l'exercice 5-3, l'équation :
a pour racine :
Calculons A et B pour que les conditions f(0) = 0 et f'(0) = 1 soit remplis.
Par conséquent :
est équivalent à :
On trouve :
La solution recherchée est donc :
La solution particulière nulle pour x < 0 est donc :
b - Pour obtenir la solution générale d'une équation linéaire avec second membre, il suffit d'ajouter, à la solution générale de l'équation sans second membre, une solution particulière de l'équation avec second membre.
Nous avons vu, à l'exercice 5-3 que la solution de l'équation sans second membre était :
Nous venons de voir qu'une solution particulière avec second membre est :
nous en déduisons que la solution générale de l'équation :
est :
c - Une condition nécessaire pour qu'une solution soit sommable est que :
Coté +∞, on a :
Coté -∞, on a :
La solution sommable répondant éventuellement à la question est donc :
Nous avons raisonné par condition nécessaire. Il nous reste à vérifier que cette solution est suffisante en calculant effectivement l'intégrale :
La solution sommable recherchée est bien :
Cet exercice est intéressant car il expose, en fait, comment on va procéder pour résoudre une équation différentielle en utilisant les distributions. Nous voyons que nous avons réussi à trouver des solutions classiquement non dérivables à une équation contenant des dérivées premières et secondes. Il s'agit, par exemple, d'un circuit électrique où l’on va appliquer un signal à un instant que l’on choisit pour origine des temps. On peut donc supposer logiquement que l'équation différentielle admet toujours une solution particulière nulle pour x < 0. Cette solution particulière sera donc recherchée sous la forme H.f, H étant la fonction de Heaviside. On résout ensuite l'équation sans second membre et l’on y ajoute la solution particulière que l’on a trouvée. |
Exercice 5-5
modifierÀ l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur dans le circuit suivant :
(avant de fermer l'interrupteur, le condensateur était déchargé)
Après avoir établi l'équation différentielle régissant le circuit, en déduire l'évolution de la tension Vc en fonction du temps.
Notons la tension délivrée par le générateur au cours du temps, ainsi que l'intensité.
Par la loi des mailles, nous avons: .
Or, .
De plus, nous pouvons représenter notre fonction avec la fonction de Heaviside, notée , de telle manière que la tension délivrée soit nulle pour , et soit égale à lorsque :
Nous obtenons cette équation différentielle:
La résolution de l'équation homogène associée donne cette solution: où est une constante que l'on calculera plus tard.
Cherchons à présent une solution particulière sous la forme où
On a alors:
Donc: d'où:
Soit :
On a alors:
donnant alors:
Finalement:
La condition initiale impose alors: .
On obtient finalement:
Exercice 5-6
modifiersoit l'équation différentielle :
Supposons que cette équation admette la solution :
Quelles relations doit vérifier la fonction f pour que l'équation admette aussi la solution :
(H étant la distribution de Heaviside)
Si f est une solution de l'équation différentielle, on a :
Pour que H.f soit aussi une solution de l'équation différentielle, on devra avoir :
Mais :
Si l'on veut que cette relation soit vraie pour toutes fonctions φ, la fonction f devra vérifier :