Théorie physique des distributions/Exercices/Équations différentielles

Équations différentielles
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Exercices no5
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Produit de convolution

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Produit de convolution
Exo suiv. :Transformée de Fourier
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Théorie physique des distributions/Exercices/Équations différentielles
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Exercice 5-1

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Montrer que la distribution de Dirac est une solution de l'équation différentielle :

 

Exercice 5-2

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Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :

 

TH étant la distribution régulière associée à la fonction de Heaviside.


Exercice 5-3

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a - Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :

 

b - En déduire les solutions de l'équation :

 

Exercice 5-4

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Soit a, un nombre réel positif.

On se propose de résoudre l'équation :

 

a - Montrer que cette équation admet pour solution particulière une fonction nulle pour x < 0.

b - En déduire la forme générale des distributions, solutions de l'équation à résoudre.

c - Existe-t-il une solution particulière de l'équation à résoudre qui soit sommable de -∞ à +∞.

Exercice 5-5

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À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur dans le circuit suivant :

 

(avant de fermer l'interrupteur, le condensateur était déchargé)

Après avoir établi l'équation différentielle régissant le circuit, en déduire l'évolution de la tension Vc en fonction du temps.

Exercice 5-6

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soit l'équation différentielle :

 

Supposons que cette équation admette la solution :

 

Quelles relations doit vérifier la fonction f pour que l'équation admette aussi la solution :

 

(H étant la distribution de Heaviside)