Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution

Produit de convolution
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Exercices no4
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Produit de convolution

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Dérivation
Exo suiv. :Équations différentielles
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Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution
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Exercice 4-1

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On appelle fonction porte, la fonction Π définie par :

 

Calculer le produit de convolution de la fonction porte par elle-même.


Exercice 4-2

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S étant une distribution fixée, à support positif (S ∈  ), on considérera l’application de   dans   qui, à toute distribution E de  , associe la distribution R définie par :

 


a - Déterminer S sachant que, si E est la fonction de Heaviside H, alors R est la distribution régulière associée à la fonction uα définie par :

 

Il apparaît que S dépend de α; on écrira donc désormais Sα au lieu de S.


b - Pour E ∈  , montrer que :

 

est une distribution indépendante de E.


Exercice 4-3

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a - Montrer que si la dérivée nième d'une distribution T est nulle, alors T est une distribution régulière associé à une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à n - 1.

b - En déduire que le produit de convolution d'une distribution à support compact par un polynôme de degré n, est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.

c - En utilisant l'exercice 2-2, en déduire que toute distribution à support compact est limite d'au moins une suite de polynômes.

Exercice 4-4

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Pour les calculs suivants, on pourra utiliser l'exercice 2-3 :


a - Calculer :

 


b - Calculer :

 

Exercice 4-5

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Soient   et   deux fonctions continues par morceaux sur  . On suppose que   est bornée et que l'intégrale impropre   converge.

  1. Montrer que   est bien définie sur  , c'est-à-dire que pour tout  , l'intégrale   converge.
  2. Montrer que si   est Ck et si ses dérivées successives sont bornées, alors   est au moins Ck.
  3. Dans le cas où   la fonction indicatrice d'un segment   (fonction porte) et   (fonction triangulaire), calculer et tracer  .
  4. On suppose   continue et l'on considère une suite de fonctions positives   telles que
     .
    Montrer que la suite de fonctions   converge uniformément vers   sur tout segment  .
  5. Soit   une fonction positive d'intégrale  . On considère la suite de fonctions  . Montrer que les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.