Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces de base

Espaces de base
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Exercices no1
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Espaces fondamentaux

Exercices de niveau 15.

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Exo suiv. :Espaces des distributions
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Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces de base
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Exercice 1-1

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Le but de cet exercice est de montrer que l’ensemble des fonctions test   n’est pas vide.


Montrez que la fonction φ définie par :

 

Est une fonction test de  .

Exercice 1-2

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Soit φ0 une fonction test de   vérifiant :

 

Montrer que toute fonction test φ de   s'écrit de manière unique sous la forme :

 

avec ψ ∈   et c ∈ ℝ

Exercice 1-3

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Soit φ ∈  . On définit sur ℝ une fonction ψ par :

 

a - Montrer que ψ est dérivable en x = 0 en calculant directement ψ'(0)

b - Montrer que :

 

c - En déduire que ψ est indéfiniment dérivable, retrouver la valeur précédemment obtenue pour ψ'(0), et calculer ψ(n)(0).


Exercice 1-4

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Soit [a;b], un intervalle de ℝ. Donner un exemple de fonctions test de   qui vaut 1 sur l'intervalle [a;b].