Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces de base
Exercice 1-1
modifierLe but de cet exercice est de montrer que l’ensemble des fonctions test n’est pas vide.
Montrez que la fonction φ définie par :
Est une fonction test de .
La fonction φ est à support borné puisque nulle en dehors de l'intervalle [-1;1]. On peut dire aussi qu'elle est indéfiniment dérivable, pour x différent de -1 et 1, puisque composée à partir de fonction indéfiniment dérivable.
Il nous reste à étudier si elle est indéfiniment dérivable en -1 et 1. Cette étude peut se restreindre à x = 1, car la fonction est paire.
La fonction étant nulle pour x > 1, toutes les limites des dérivées successives de φ, en faisant tendre x vers 1 par valeur supérieure, seront nulles.
Il nous reste donc à montrer que toutes les limites des dérivées successives de φ, en faisant tendre x vers 1 par valeur inférieure, sont nulles.
Montrons d’abord par récurrence qu’il existe une suite de polynômes (Pn)n∈ℕ tel que :
Initialisation
La propriété est vraie pour n = 0, en prenant P0(x) = 1
Hérédité
Supposons la propriété vraie pour n. On a donc :
Démontrons que cela entraîne qu'elle est vraie pour n+1. En dérivant la relation précédente, nous obtenons :
La suite de polynômes (Pn)n∈ℕ est donc définie par :
Nous voyons que nous avons alors, par croissante comparée entre polynôme et exponentielle :
La dérivée à tout ordre à gauche en 1 étant égale à la dérivée à tout ordre à droite en 1, la fonction φ est donc indéfiniment dérivable en 1.
φ étant une fonction indéfiniment dérivable en tout point et à support borné, sera donc une fonction test de .
Exercice 1-2
modifierSoit φ0 une fonction test de vérifiant :
Montrer que toute fonction test φ de s'écrit de manière unique sous la forme :
avec ψ ∈ et c ∈ ℝ
Montrons tout d’abord l'unicité. Pour cela, il nous suffit de montrer que c et ψ s'exprime de façon unique.
Calculons c :
Pour cela intégrons de -∞ à +∞, les deux membres de l'équation :
On obtient :
Qui se simplifie sous la forme :
Nous voyons qu’il nous reste :
Calculons maintenant ψ :
De :
Nous tirons :
Ce qui montre déjà que ψ est indéfiniment dérivable puisque ψ's'exprime comme combinaison linéaire de fonctions indéfiniment dérivables.
Nous voyons aussi qu'une primitive de ψ est donnée par :
et que cette primitive est à support compact. En effet, pour tout x inférieur aux support de φ et φ0, nous avons :
et pour tout x supérieur aux support de φ et φ0, nous avons :
Donc ψ est bien à support borné.
Pour montrer l’existence de φ sous la forme :
Il nous suffit de vérifier qu'en remplaçant ψ et c par les valeurs trouvées précédemment, on obtient bien φ. En effet, on a :
Exercice 1-3
modifierSoit φ ∈ . On définit sur ℝ une fonction ψ par :
a - Montrer que ψ est dérivable en x = 0 en calculant directement ψ'(0)
b - Montrer que :
c - En déduire que ψ est indéfiniment dérivable, retrouver la valeur précédemment obtenue pour ψ'(0), et calculer ψ(n)(0).
a - Calculons directement ψ'(0) :
La formule des accroissements finis à l’ordre 2 (connu aussi sous le nom de formule de Mac Laurin avec reste de Lagange), nous dit que :
En remplaçant ci-dessus, on obtient :
Comme c ∈ [0;h], si l’on fait tendre h vers 0, on aura aussi c qui tend vers 0 et l’on obtiendra :
b - Pour x = 0, on obtient :
Pour x ≠ 0, en faisant le changement de variable y = tx, on obtient :
c - Comme φ' ∈ , on peut en déduire que φ' est bornée.
Soit :
Cette fonction est continu et l’on a :
(φ o g) est continu comme composée de fonctions continues. On peut donc dériver sous le signe intégrale. On obtient :
et par conséquent :
En appliquant le raisonnement précédent à la fonction t.φ"(tx), on démontre que ψ' est dérivable.
De proche en proche, on démontre que ψ est indéfiniment dérivable.
et on obtient :
Par récurrence, on démontre que :
Exercice 1-4
modifierSoit [a;b], un intervalle de ℝ. Donner un exemple de fonctions test de qui vaut 1 sur l'intervalle [a;b].
Nous repartirons de l'exemple donné par Laurent Schwartz :
que nous avons étudié dans l'exercice 1-1.
Posons :
Nous définirons une nouvelle fonction f par :
Nous voyons que la fonction f est indéfiniment dérivable, quelle vaut 0 sur l'intervalle ]-∞;-1] et qu'elle vaut 1 sur l'intervalle [1;+∞[
En remarquant que la fonction :
vaut 0 sur ]-∞;a-2] et 1 sur l'intervalle [a;+∞[
et que la fonction :
vaut 0 sur ]-∞;b] et 1 sur l'intervalle [b+2;+∞[, nous poserons h la fonction définie par :
Cette fonction est indéfiniment dérivable.
Elle vaut 0 sur l'intervalle ]-∞;a-2], 1 sur l'intervalle [a;b] et 0 sur l'intervalle [b+2;+∞[
C'est donc une fonctions test de qui répond à la question.