Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces des distributions

Espaces des distributions
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Exercices no2
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Introduction des distributions

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Espaces de base
Exo suiv. :Dérivation
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Exercice 2-1

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Montrer, en déterminant son support, que la distribution de Dirac est un élément de l'espace  .


Exercice 2-2

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a - Montrez que :

 


b - Pour y réel et fixé, calculer :

 


c - Montrez que, pour y fixé, et n suffisamment grand :

 


d - φ étant une fonction-test de  , utiliser le théorème de la convergence dominée pour calculer :

 


e - en déduire que la distribution de Dirac peut être la limite d'une suite de polynômes.

Exercice 2-3

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a - Montrer que pour toute fonction ψ indéfiniment dérivable sur ℝ, et pour tout intervalle borné [a;b],

 


b - En utilisant l'égalité :

 

montrer qu'au sens des distributions :

 

On pourra utiliser l'exercice 1-3 et on rappelle la relation bien connue :

 

Exercice 2-4

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On définit, sur ℝ, une famille de fonction uα en posant :

 

a - Montrer que u1 est sommable.

b - En déduire, qu'au sens des distributions :

 


Exercice 2-5

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(espace disponible pour y rajouter un exercice)


Exercice 2-6

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Soit f, une fonction sommable vérifiant la propriété :

 

Montrer que, au sens de la convergence des distributions, on a alors :

 


Exercice 2-7

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On rappelle la relation bien connue :

 


a - Calculer :

 


b - Montrer qu'au sens des distribution :

 


c - Calculer :