Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces des distributions
Exercice 2-1
modifierMontrer, en déterminant son support, que la distribution de Dirac est un élément de l'espace .
Nous savons que la distribution de Dirac est définie par :
Où l’on remarque que seul compte la valeur de φ en 0. Si la valeur de φ en 0 est nulle alors le support de φ est inclus dans le complémentaire du support de la distribution de Dirac, sinon le support de φ intercepte le support de la distribution de Dirac.
Nous en déduisons que le support de la distribution de Dirac se limite au singleton {0} (qui est fermé et borné, donc compact)
Et par conséquent, nous voyons que la distribution de Dirac est un élément de l'espace .
Exercice 2-2
modifiera - Montrez que :
b - Pour y réel et fixé, calculer :
c - Montrez que, pour y fixé, et n suffisamment grand :
d - φ étant une fonction-test de , utiliser le théorème de la convergence dominée pour calculer :
e - en déduire que la distribution de Dirac peut être la limite d'une suite de polynômes.
a - Étudions, sur [0;1[, la fonction f défini par :
On a :
Sur [0;1[, nous voyons que cette dérivée est négative. La fonction f est donc décroissante à partir de f(0) = 0. on a donc :
b - On a :
c - Pour n suffisamment grand, nous avons :
et donc, d’après la question a, nous avons :
On a, dans ces conditions :
d - En effectuant le changement de variable x = y/n, on obtient :
φ étant une fonction-test, sera bornée. Nous pouvons poser :
Nous aurons alors, en utilisant la question précédente :
Nous voyons que l’expression sous l'intégrale est majorée par une fonction sommable indépendante de n. Nous sommes donc dans les conditions d'application du théorème de la convergence dominée. C'est-à-dire que nous pouvons inverser la limite et le signe intégrale. nous écrirons donc :
e - Nous savons que la distribution de Dirac δ vérifie :
Nous avons donc obtenue à la question précédente :
Comme :
est visiblement un polynôme, nous en déduisons que la distribution de Dirac peut être la limite d'une suite de polynômes.
Exercice 2-3
modifiera - Montrer que pour toute fonction ψ indéfiniment dérivable sur ℝ, et pour tout intervalle borné [a;b],
b - En utilisant l'égalité :
montrer qu'au sens des distributions :
On pourra utiliser l'exercice 1-3 et on rappelle la relation bien connue :
a - En intégrant par partie, on obtient :
b - Soit une fonction φ de . Comme φ est à support borné, il existe un réel A tel que le support de φ soit inclus dans l'intervalle [-A;A]. Nous avons alors :
Posons ψ une fonction définit sur ℝ par :
On a montré, dans l'exercice 1-3, que cette fonction est indéfiniment dérivable et, par conséquent, en utilisant la question précédente, on obtient :
Il nous reste donc :
Faisons un changement de variable en posant u = λx, on obtient :
Nous voyons que nous avons bien obtenu, au sens des distributions :
Exercice 2-4
modifierOn définit, sur ℝ, une famille de fonction uα en posant :
a - Montrer que u1 est sommable.
b - En déduire, qu'au sens des distributions :
a - Vérifions que u1 est sommable :
Donc u1 est bien sommable.
b - On a :
Faisons le changement de variable u = α.x :
Nous voyons que :
Comme e-u est sommable d’après la question a, nous allons pouvoir utiliser le théorème de la convergence dominée, on obtient :
On a obtenu :
On a bien :
Exercice 2-5
modifier(espace disponible pour y rajouter un exercice)
Exercice 2-6
modifierSoit f, une fonction sommable vérifiant la propriété :
Montrer que, au sens de la convergence des distributions, on a alors :
Pour simplifier l'écriture, posons :
On a :
Faisons le changement de variable u = n.x :
Nous voyons que :
Comme f est sommable, nous allons pouvoir utiliser le théorème de la convergence dominée, on obtient :
On a obtenu :
On a bien :
Exercice 2-7
modifierOn rappelle la relation bien connue :
a - Calculer :
b - Montrer qu'au sens des distribution :
c - Calculer :
a - En intégrant par partie, on obtient :
b - En posant :
nous voyons que :
D'après l’exercice 2-6, nous en déduisons :
c'est-à-dire :
c - Nous remarquons que la fonction définie par :
est la translaté de de l'exemple de Laurent Schwartz que nous avons étudié dans l'exercice 1-1. C'est donc une fonction test de .
Si nous posons :
et Tn, la distribution régulière associée.Nous voyons que :