Théorie physique des distributions/Exercices/Dérivation

Exercice 3-1

Soit f la fonction définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)=|x|$

a - Calculer la dérivée de f en tant que distribution.

b - Calculer ensuite la dérivée seconde de f en tant que distribution.

Solution

a - En tant que fonction, f n’est pas dérivable en 0. En tant que distribution, ce fait n'est plus qu'un mauvais souvenir !

Nous avons :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{f}',\varphi >\,=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x).|x|\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{0}\varphi '(x).x\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{\infty }\varphi '(x).x\,\mathrm {d} x$

En intégrant par parties, on obtient :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{f}',\varphi >\,=[\varphi (x).x]_{-\infty }^{0}-\int _{-\infty }^{0}\varphi (x)\,\mathrm {d} x-[\varphi (x).x]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{0}\varphi (x)\,\mathrm {d} x$

b - Dérivons une seconde fois pour obtenir la dérivée seconde :

${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{f}'',\varphi >\,&=-<T_{f}',\varphi '>\\&=-\int _{0}^{\infty }\varphi '(x)\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{0}\varphi '(x)\,\mathrm {d} x\\&=-[\varphi (x)]_{0}^{\infty }+[\varphi (x)]_{-\infty }^{0}\\&=\varphi (0)+\varphi (0)\\&=2\varphi (0)\\&=2<\delta ,\varphi >\end{aligned}}$

 

Exercice 3-2

Soit la fonction physique r définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ r(x)=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {si} &x<0\\{\sqrt {x}}&\mathrm {si} &x\geqslant 0.\end{matrix}}\right.$

a - Montrer que r n'admet pas de dérivée physique.

b - Calculer la dérivée de r en tant que distribution.

Solution

a - r n'est physiquement pas dérivable en 0. En effet :

$r_{ph}'(0)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {r(0+h)-r(0)}{h}}=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {\sqrt {h}}{h}}=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {1}{\sqrt {h}}}=+\infty$

b - Toutefois, en tant que distribution, nous avons :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{r}',\varphi >\,=-<T_{r},\varphi '>=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x).r(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }\varphi '(x).{\sqrt {x}}\,\mathrm {d} x$

Et nous ne pouvons guère aller plus loin, éventuellement faire une intégration par partie qui donnerait :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{r}',\varphi >\,=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varphi (x)}{2{\sqrt {x}}}}\,\mathrm {d} x$

l'intégrale impropre étant convergente (critère de Riemann).

 

Exercice 3-3

Montrez qu'une distribution ayant une dérivée nulle est une distribution régulière associée à une fonction constante.

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)

Solution

Soit φ₀ une fonction test de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ vérifiant :

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x)\,\mathrm {d} x=1$

Nous avons vu (exercice 1-2) que :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}},\quad \exists !\,\psi \in {\mathcal {D}},\quad \exists !\,c\in \mathbb {R} ,\quad \varphi =\psi '+c.\varphi _{0}$

c est défini par :

$c=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} x$

Soit T une distribution vérifiant T' = 0.

Posons k = <T,φ₀>.

Soit f, la fonction constante défini par :

$\forall t\in \mathbb {R} \quad f(t)=k$

On a alors :

${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T,\varphi >\,&=\,<T,\psi '+c.\varphi _{0}>\\&=\,<T,\psi '>+c.<T,\varphi _{0}>\\&=\,-<T',\psi >+c.k\\&=0+k.\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\times k\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)f(t)\,\mathrm {d} t\\&=<T_{f},\varphi >\end{aligned}}$

Et nous voyons que T est la distribution régulière associé à f, fonction constante.

 

Exercice 3-4

Soit φ₀ une fonction test de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ vérifiant :

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x)\,\mathrm {d} x=1$

Soit T, une distribution. Montrer que T admet une primitive S telle que :

$<S,\varphi _{0}>=0$

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)

Solution

Nous avons vu (exercice 1-2) que :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}},\quad \exists !\,\psi \in {\mathcal {D}},\quad \exists !\,c\in \mathbb {R} ,\quad \varphi =\psi '+c.\varphi _{0}$

c est défini par :

$c=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} x$

Procédons par analyse et synthèse.

analyse

Supposons qu’il existe une distribution S vérifiant S' = T et <S,φ₀> = 0.

On a alors :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S,\varphi >\,=\,<S,\psi '+c.\varphi _{0}>\,=\,<S,\psi '>+c<S,\varphi _{0}>\,=\,-<S',\psi >+c\times 0\,=-<T,\psi >$

synthèse

Posons donc :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S,\varphi >\,=-<T,\psi >$

et vérifions que cette distribution, ainsi définie, répond bien à la question :

On remarque que :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad \varphi '=\varphi '+0\times \varphi _{0}\quad \mathrm {car} \quad c=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,\mathrm {d} x=0$

On a donc :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S',\varphi >\,=\,-<S,\varphi '>\,=-(-<T,\varphi >)\,=<T,\varphi >$

On a bien S' = T

D'autre part, on peut écrire :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad \varphi _{0}=0+1\times \varphi _{0}\quad \mathrm {car} \quad c=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x)\,\mathrm {d} x=1$

Et par conséquent :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S,\varphi _{0}>\,=\,-<T,0>\,=0$

Les deux conditions sont vérifiées. Par conséquent, la distribution S définie par :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S,\varphi >\,=-<T,\psi >$

répond bien à la question.

 

Exercice 3-5

Soit la suite de fonctions (S_n)_n∈ℕ définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad S_{n}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(n.x)$

a - Étudier la convergence de cette suite au sens des distributions.

b - Ce résultat reste-t-il vrai au sens de la convergence simple des fonctions.

c - Calculer :

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{1+n^{2}x^{2}}}\right)$

Solution

a - Soit T_n la distribution associée à S_n. On a :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{n},\varphi >\,=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x).\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(n.x)\right)\,\mathrm {d} x$

Nous avons :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \left|{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(n.x)\right|\leqslant 1$

Donc, d’après le théorème de la convergence dominée, on peut écrire :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad \lim _{n\to \infty }<T_{n},\varphi >\,=\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x).\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(n.x)\right)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{n\to \infty }\varphi (x).\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(n.x)\right)\,\mathrm {d} x$

Nous voyons que :

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(n.x)\right)$

est une fonction S définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ S(x)=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {si} &x<0\\{\frac {1}{2}}&\mathrm {si} &x=0\\1&\mathrm {si} &x>0\end{matrix}}\right.$

Nous avons donc :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad \lim _{n\to \infty }<T_{n},\varphi >\,=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x).S(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x).H(x)\,\mathrm {d} x$

La suite de distributions (T_n)_n∈ℕ tends donc vers la distribution de Heaviside H.

b - Au sens de la convergence simple, nous voyons que la suite de fonctions (S_n)_n∈ℕ tend vers la fonction S défini par :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ S(x)=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {si} &x<0\\{\frac {1}{2}}&\mathrm {si} &x=0\\1&\mathrm {si} &x>0\end{matrix}}\right.$

Qui diffère de la fonction de Heaviside par sa valeur en 0 qui vaut 1/2 au lieu de 1. Et donc, dans ce cas, la convergence au sens des distributions diffère de la convergence simple des fonctions.

Ceci provient du fait que S n’est pas une fonction physique, car non-continue à droite en 0. On peut donc dire que, dans l’ensemble des fonctions physiques, la suite (S_n) n'a pas de limite au sens de la convergence simple, mais a une limite dans ${\textstyle {\mathcal {D}}'}$ au sens de la convergence des distributions.

c - Nous remarquons que :

$S_{n}'(x)={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {n}{1+n^{2}x^{2}}}\right)$

En dérivant les deux membres de :

$\lim _{n\to \infty }T_{n}=H$

Nous obtenons :

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n}{1+n^{2}x^{2}}}\right)=\pi \delta (x)$

 

Exercice 3-6

Pour tout x réel, que peut-on dire de l’expression :

$\delta (x)+sin(x).\delta '(x)$

Solution

On a :

${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <\delta +sin.\delta ',\varphi >\,&=\,<\delta ,\varphi >+<sin.\delta ',\varphi >\\&=\,\varphi (0)+<\delta ',sin.\varphi >\\&=\,\varphi (0)-<\delta ,(sin.\varphi )'>\\&=\,\varphi (0)-<\delta ,sin'.\varphi +sin.\varphi '>\\&=\,\varphi (0)-<\delta ,cos.\varphi >-<\delta ,sin.\varphi '>\\&=\,\varphi (0)-cos(0).\varphi (0)-sin(0).\varphi '(0)\\&=\,\varphi (0)-\varphi (0)\\&=\,0\end{aligned}}$

Par abus d'écriture, on a donc :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad \delta (x)+sin(x).\delta '(x)=0$

 

Exercice 3-7

a) Trouver toutes les distributions T qui vérifie la relation :

$x.T=0$

b) Calculer l'expression :

$x.\delta '$

c) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

$x^{2}.T=0$

d) Calculer l'expression :

$x^{2}.\delta ''$

e) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

$x^{2}.T=\delta$

Solution

a) φ étant une fonction-test de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$, calculons <T,φ> :

Soit ζ, une autre fonction de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ vérifiant la condition ζ(0) = 1.

Posons alors :

$\omega (x)=\varphi (x)-\varphi (0)\zeta (x)$

Nous voyons alors que :

$\omega (0)=\varphi (0)-\varphi (0)\times \zeta (0)=0$

Se qui montre qu'il existe une fonction σ de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ vérifiant :

$\omega (x)=x.\sigma (x)$

En repportant, nous voyons que φ s'écrit sous la forme :

$\varphi (x)=\omega (x)+\varphi (0)\zeta (x)=x.\sigma (x)+\varphi (0)\zeta (x)$

Nous avons alors :

$<T,\varphi (x)>=<T,x.\sigma (x)+\varphi (0)\zeta (x)>=<T,x.\sigma (x)>+<T,\varphi (0)\zeta (x)>=<x.T,\sigma (x)>+\varphi (0)<T,\zeta (x)>=0+\varphi (0)<T,\zeta (x)>$

En posant :

$K=<T,\zeta (x)>$

Il nous reste :

$<T,\varphi (x)>=K.\varphi (0)$

Soit :

$T=K.\delta$

b) On a :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <x.\delta ',\varphi >\,=\,<\delta ',x.\varphi >\,=\,-<\delta ,(x.\varphi )'>\,=\,-<\delta ,\varphi +x.\varphi '>\,=\,-\varphi (0)\,=\,-<\delta ,\varphi >$

On en déduit :

$x.\delta '=-\delta$

c) L'équation peut s'écrire :

$x(x.T)=0$

D'après la question a, cela entraîne :

$x.T=K.\delta$

On a vu, question précédente que :

$x.\delta '=-\delta$

On en déduit :

$x.T=-K.x.\delta '$

qui s'écrit :

$x.(T+K.\delta ')=0$

Toujours d'après la question a, cela entraîne :

$T+K.\delta '=C.\delta$

Soit :

$T=C.\delta -K.\delta '$

d) On a :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <x^{2}.\delta '',\varphi >\,=\,<\delta '',x^{2}.\varphi >\,=\,<\delta ,(x^{2}.\varphi )''>\,=\,<\delta ,(2x.\varphi +x^{2}.\varphi ')'>\,=\,<\delta ,2\varphi +4x.\varphi '+x^{2}.\varphi ''>\,=\,2\varphi (0)\,=\,2<\delta ,\varphi >$

On en déduit :

$x^{2}.\delta ''=2\delta$

e) L'équation peut s'écrire :

$2x^{2}.T=2\delta$

Par soustraction membre à membre avec le résultat de la question précédente, on obtient :

$x^{2}(2T-\delta '')=0$

En appliquant la question c, il vient :

$2T-\delta ''=C.\delta -K.\delta '$

qui nous donne :

$T={\frac {1}{2}}\delta ''+{\frac {C}{2}}.\delta -{\frac {K}{2}}.\delta '$

Que l’on peut simplifier un peu en posant A = C/2, B = -K/2 :

$T=A.\delta +B.\delta '+{\frac {1}{2}}\delta ''$

 

Exercice 3-8

Soit φ₀ une fonction test de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$.

a) Montrer que :

$\forall T\in {\mathcal {D}}'\qquad \varphi _{0}.T=0\quad \Rightarrow \quad <T,\varphi _{0}>=0$

b) La réciproque est-elle vraie ?

Solution

a) supposons :

$\varphi _{0}.T=0$

Et soit $\varphi$, une fonction test de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ qui vaut 1 sur le support de $\varphi _{0}$ (cette fonction existe d'après l'exercice 1-4).

On a alors :

$\forall T\in {\mathcal {D}}'\qquad <T,\varphi _{0}>=<T,\varphi _{0}.\varphi >=<\varphi _{0}.T,\varphi >=<0,\varphi >=0$

b) La réciproque n'est pas vraie. Pour prouver cela, il nous faut donner un contre exemple :

Prenons :

$T=\delta '$

Et soit $\varphi _{0}$, une fonction test de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ qui vaut 1 sur l'intervalle [-1;1].

Nous voyons que nous avons :

$<\delta ',\varphi _{0}>=-<\delta ,\varphi _{0}'>=\varphi _{0}'(0)=0$

Et pourtant :

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\qquad <\varphi _{0}.\delta ',\varphi >=<\delta ',\varphi _{0}.\varphi >=-<\delta ,(\varphi _{0}.\varphi )'>=-<\delta ,\varphi _{0}'.\varphi +\varphi _{0}.\varphi '>=-\varphi _{0}'(0).\varphi (0)-\varphi _{0}(0).\varphi '(0)=-\varphi '(0)$

qui n'est pas forcément nulle selon le choix de $\varphi$ (Il suffit de choisir $\varphi$ avec une dérivée non-nulle en 0).