Théorie physique des distributions/Exercices/Dérivation

Dérivation
Image logo représentative de la faculté
Exercices no3
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Dérivation

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Espaces des distributions
Exo suiv. :Produit de convolution
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dérivation
Théorie physique des distributions/Exercices/Dérivation
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 3-1Modifier

Soit f la fonction définie par :

 

a - Calculer la dérivée de f en tant que distribution.


b - Calculer ensuite la dérivée seconde de f en tant que distribution.


Exercice 3-2Modifier

Soit la fonction physique r définie par :

 

a - Montrer que r n'admet pas de dérivée physique.

b - Calculer la dérivée de r en tant que distribution.


Exercice 3-3Modifier

Montrez qu'une distribution ayant une dérivée nulle est une distribution régulière associée à une fonction constante.

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)


Exercice 3-4Modifier

Soit φ0 une fonction test de   vérifiant :

 

Soit T, une distribution. Montrer que T admet une primitive S telle que :

 

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)


Exercice 3-5Modifier

Soit la suite de fonctions (Sn)n∈ℕ définie par :

 

a - Étudier la convergence de cette suite au sens des distributions.

b - Ce résultat reste-t-il vrai au sens de la convergence simple des fonctions.

c - Calculer :

 


Exercice 3-6Modifier

Pour tout x réel, que peut-on dire de l’expression :

 


Exercice 3-7Modifier

a) Trouver toutes les distributions T qui vérifie la relation :

 

b) Calculer l'expression :

 

c) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

 

d) Calculer l'expression :

 

e) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

 


Exercice 3-8Modifier

Soit φ0 une fonction test de  .

a) Montrer que :

 

b) La réciproque est-elle vraie ?