Topologie générale/Équicontinuité

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Définition de l'équicontinuité

Définition

Soient X un espace topologique et E un espace métrique. Un ensemble A d'applications de X dans E est dit :

• équicontinu au point $x\in X$ si

  $\forall \varepsilon >0\quad \exists V{\text{ voisinage de }}x\quad \forall y\in V\quad \forall f\in A\quad d(f(x),f(y))\leq \varepsilon$ ;

• équicontinu s'il est équicontinu en tout point de X ;
• uniformément équicontinu si de plus X est un espace métrique et

  $\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in B(x,\delta )\quad \forall f\in A\quad d(f(x),f(y))\leq \varepsilon$.

À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : « les fonctions de A sont toutes continues » s'écrit :

$\forall f\in A\quad \forall x\in X\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall y\in B\left(x,\delta \right)\quad d\left(f(x),f(y)\right)\leq \varepsilon$.

Tout dépend de l'ordre des quantificateurs : pour la continuité, δ dépend de ε, de $x$ et de $f$. Pour l'équicontinuité, δ dépend seulement de ε et de $x$, alors que l'équicontinuité uniforme, la plus forte, ne fait dépendre δ que de ε.

Théorème d'Ascoli

Début d’un théorème

Théorème

Soient K un espace compact, E un espace métrique et C(K, E) l'espace des fonctions continues de K dans E, muni de la distance uniforme.

Une partie A de C(K, E) est relativement compacte (c'est-à-dire incluse dans un compact) si et seulement si, pour tout point x de K :

• A est équicontinue en x ;
• la partie A(x) = {f(x) | f ∈A} de E est relativement compacte.

Fin du théorème