Topologie générale/Filtres

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Définition et exemples

Définition : Filtre

On appelle filtre sur un ensemble $E$ tout ensemble non vide ${\mathcal {F}}$ de parties de $E$ qui vérifie :

• toute partie de $E$ incluant un élément de ${\mathcal {F}}$ appartient à ${\mathcal {F}}$ ;
• toute intersection finie d'éléments de ${\mathcal {F}}$ appartient à ${\mathcal {F}}$ ;
• $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$.

Début de l'exemple

Exemple

• Soit $E$ un ensemble et $x$ un élément de $E$. Alors ${\mathcal {F}}_{x}=\{A\in {\mathcal {P}}(E)\mid x\in A\}$ est un filtre, dit filtre principal.
• Sur un espace topologique $X$, l’ensemble des voisinages d'une partie non vide quelconque de $X$ est un filtre. Dans le cas des voisinages d'un point pour la topologie discrète, on revient au cas du filtre principal.
• Si $E$ est un ensemble infini alors les complémentaires des parties finies de $E$ forment un filtre sur $E$, appelé filtre de Fréchet.

Fin de l'exemple

Base d'un filtre

Définition : Base d'un filtre

Soit $E$ un ensemble et ${\mathcal {B}}$ un ensemble de parties de $E$. On dit que ${\mathcal {B}}$ est une base de filtre si ${\mathcal {F}}=\{A\in {\mathcal {P}}(E)\mid \exists B\in {\mathcal {B}}\quad B\subset A\}$ est un filtre. On dit alors que ${\mathcal {F}}$ est le filtre engendré par ${\mathcal {B}}$.

Début de l'exemple

Exemples

• $\{\{x\}\}$ est une base du filtre principal ${\mathcal {F}}_{x}$.
• Dans $\mathbb {N}$, $\{\left[n,+\infty \right[\mid n\in \mathbb {N} \}$ est une base du filtre de Fréchet.

Fin de l'exemple

Remarque

Soient ${\mathcal {F}}$ un filtre et ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {F}}$. Pour que ${\mathcal {B}}$ engendre ${\mathcal {F}}$, (il faut et) il suffit que tout élément de ${\mathcal {F}}$ contienne un élément de ${\mathcal {B}}$.

Ultrafiltres

Définition : Comparaison de filtres

Soit ${\mathcal {F}}$ et ${\mathcal {F}}'$ deux filtres sur un ensemble $E$. On dit que ${\mathcal {F}}'$ est plus fin (resp. strictement plus fin) que ${\mathcal {F}}$ si ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}'$ (resp. ${\mathcal {F}}\subsetneq {\mathcal {F}}'$).

L'ensemble des filtres sur un ensemble $E$ est ordonné par la relation d'inclusion (« est moins fin que »). Pour cette relation, toute famille non vide $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ admet une borne inférieure : le filtre intersection $\bigcap _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}$.

Définition : Ultrafiltre

Un ultrafiltre sur un ensemble $E$ est un filtre sur $E$ maximal pour l'inclusion.

Autrement dit : c'est un filtre sur $E$ tel qu’il n'existe aucun filtre sur $E$ strictement plus fin que lui.

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout filtre ${\mathcal {F}}$ sur un ensemble $E$, il existe un ultrafiltre plus fin que ${\mathcal {F}}$.

Fin du théorème