Topologie générale/Exercices/Équicontinuité

Équicontinuité
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Exercices no9
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Équicontinuité

Exercices de niveau 16.

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Topologie générale/Exercices/Équicontinuité
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Exercice 1Modifier

Soient K un espace compact, E un espace métrique et A un ensemble équicontinu de fonctions de K dans E.

Montrer que sur A, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.

Exercice 2Modifier

Les deux ensembles suivants sont-ils équicontinus ?

  1.   ;
  2.  .
  1. Soit   la suite de fonctions de   dans   définie par  . En quels points l'ensemble   est-il équicontinu ?
  2. Même question pour l'ensemble   des fonctions   définies par  .

Exercice 3Modifier

Soient   deux espaces métriques, et   une suite de fonctions de   dans  , équicontinue en  . On suppose que  .

  1. Montrer que si   alors  .
  2. Ce résultat est-il encore vrai si l'on ne suppose plus l'équicontinuité ? On pourra considérer la suite   et  .

Exercice 4Modifier

Soit   l'espace de Banach des fonctions höldériennes d'exposant   de   dans  , muni de la norme

 .

On note   la boule unité fermée de  , et l'on rappelle que pour tout  ,  .

  1. Montrer que pour tout  ,   est relativement compact dans  .
  2. Montrer que   est équicontinue.
  3. Dans  , montrer que   est fermée et en déduire qu'elle est compacte.

Exercice 5Modifier

Soit   et   définie par

 .

Soit   une suite bornée de  .

  1. Montrer que   est uniformément continue.
  2. Montrer que   est équicontinue.
  3. Montrer que   admet une sous-suite convergente.

Exercice 6Modifier

On considère l'espace de Banach  , muni de sa norme habituelle  . Pour tout  , on pose, pour  ,   et   :

  •   ;
  •  .

Soit   un sous-ensemble fermé tel que :

(i)   est borné ;
(ii)   quand   ;
(iii)   quand  .

On cherche à montrer que   est compact dans   car complet et précompact.

  1. Montrer que pour tout  ,   est continue et intégrable.
  2. Montrer que   quand  .
  3. Montrer que pour tout  , l'ensemble   est équicontinu.
  4. En déduire que pour tout  ,   est d'adhérence compacte dans  , puis dans  .
  5. Montrer que   est compact dans  .

Exercice 7Modifier

Soit   un sous-espace fermé de l'espace vectoriel   des fonctions continues de   dans  . Montrer que :

  1. si toute application   est de classe C1, alors   est de dimension finie ;
  2. si toute application   est höldérienne, alors   est de dimension finie. (Indication : considérer les  .)

Lien externeModifier

« Théorème de Stone-Weierstrass – Théorème d'Ascoli », sur exo7