Topologie générale/Espaces quotient

La notion de topologie quotient se ramène intuitivement au recollements de points d'un ensemble vis-à-vis d'une relation d'équivalence.

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Définition

Soit $X$ un espace topologique et ${\mathcal {R}}$ une relation d'équivalence sur $X$.

On appelle topologie quotient de la topologie de $E$ par ${\mathcal {R}}$ la topologie la plus fine rendant continue l’application canonique $\varphi :X\rightarrow X/{\mathcal {R}}$.

On appelle espace quotient de $X$ par ${\mathcal {R}}$ l’ensemble quotient $X/{\mathcal {R}}$ muni cette topologie.

Les ouverts (resp. fermés) dans $X/{\mathcal {R}}$ sont donc les ensembles $A$ tels que $\varphi ^{-1}(A)$ soit ouvert (resp. fermé) dans $X$.

Début de l'exemple

Exemples

• La topologie quotient sur le groupe quotient $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ est la topologie grossière.
• Le groupe quotient $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ est homéomorphe à un cercle.
• Le tore, le ruban de Möbius, la bouteille de Klein… peuvent être vus comme des espaces quotients.

Fin de l'exemple

Proposition

Soit $X$ un espace topologique et ${\mathcal {R}}$ une relation d'équivalence sur $X$. Pour toute application $f:X/{\mathcal {R}}\rightarrow Y$ ($Y$ espace topologique), $f$ est continue si et seulement si $f\circ \varphi$ l'est.