Topologie générale/Ordre

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Intervalle dans un ensemble ordonné

Intervalles ouverts

Soient $(E,\leq )$ un ensemble ordonné et $<$ l'ordre strict associé. On appelle intervalles ouverts de $(E,\leq )$ les ensembles de l'une des formes suivantes, où $x$ et $y$ désignent des éléments quelconques de $E$ :

1. une demi-droite ouverte à droite ou à gauche : $\left]x,\to \right]=\{t\in E\mid x<t\}$ ou $\left[\leftarrow ,y\right[=\{t\in E\mid t<y\}$ ;
2. un intervalle de la forme : $\left]x,y\right[=\left]x,\to \right]\cap \left[\leftarrow ,y\right[$ ;
3. l'intervalle $\left[\leftarrow ,\to \right]=E$.

Remarquons que l'ensemble vide est un intervalle ouvert : $\left]x,y\right[=\varnothing$ lorsqu'il n'existe aucun $t\in E$ tel que $x<t<y$, en particulier dès que $x$ n'est pas strictement inférieur à $y$.

Propriété

Si l'ordre $\leq$ est total, l’intersection de deux intervalles ouverts est un intervalle ouvert.

'Démonstration'

Il suffit de vérifier que $\left]x_{1},\to \right]\cap \left]x_{2},\to \right]$ est de la forme $\left]x,\to \right]$ et que $\left[\leftarrow ,y_{1}\right[\cap \left[\leftarrow ,y_{2}\right[$ est de la forme $\left[\leftarrow ,y\right[$, ce qui résulte du fait que dans un ensemble totalement ordonné, toute paire possède un maximum et un minimum.

 

Topologie de l’ordre

Topologie liée à une relation d'ordre

Soit $(E,\leq )$ un ensemble ordonné. On définit alors la topologie associée à cet ordre comme la topologie sur $E$ dont une prébase est l'ensemble des intervalles ouverts.

Remarque

D'après la propriété précédente, si l'ordre est total, les intervalles ouverts forment même une base de cette topologie.

Début de l'exemple

Exemple : droite réelle achevée

La droite réelle achevée est l'ensemble ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ muni de son ordre naturel : c'est l'ensemble ordonné usuel $\mathbb {R}$, auquel on ajoute un plus petit élément, $-\infty$, et un plus grand élément, $+\infty$. Cet ordre est total. Pour la topologie associée :

• les voisinages d'un réel sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur $\mathbb {R}$, augmentés éventuellement de $-\infty$ ou de $+\infty$ ;
• les voisinages de $+\infty$ sont les parties de ${\overline {\mathbb {R} }}$ contenant une demi-droite $\left]x,\to \right]=\left]x,+\infty \right]$ ;
• de même, les voisinages de $-\infty$ sont les parties contenant une demi-droite $\left[-\infty ,y\right[$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple : ℕ ∪ {+∞}

Pour la topologie de l'ordre sur l'ensemble ${\overline {\mathbb {N} }}=\mathbb {N} \cup \{+\infty \}\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ (muni de l'ordre induit) :

• les voisinages d'un entier sont les parties de ${\overline {\mathbb {N} }}$ contenant cet entier ;
• les voisinages de $+\infty$ sont les complémentaires d'un ensemble fini d'entiers.

Cette topologie coïncide donc avec la topologie induite par celle de ${\overline {\mathbb {R} }}$.

Fin de l'exemple