En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topologie générale : Espace produit Topologie générale/Espace produit », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit une famille (non nécessairement finie) d'espaces topologiques, et le produit cartésien de la famille d'ensembles . La topologie produit des est la topologie sur dont une prébase est constituée des parties de de la forme où chaque est égal au correspondant, sauf l'un d'entre eux, qui peut être seulement un ouvert (de ).
Une base de cette topologie est donc constituée des parties de de la forme où chaque est égal au correspondant, sauf un nombre fini d'entre eux, qui peuvent être seulement des ouverts.
Remarque
Cette base d'ouverts est stable par intersections finies.
Si tous les (pour ) sont égaux à un même espace topologique , leur produit est noté .
Une suite d'éléments de — c'est-à-dire d'applications de dans — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout , la suite (à valeurs dans ) converge. C'est pourquoi cette topologie sur est appelée la « topologie de la convergence simple ».
Si sont égaux à un même espace , leur produit est noté .
La topologie sur ℝn construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.
Plus généralement, si est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur coïncide avec celle associée à la norme sur définie par . Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.
Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :
Proposition
Un espace topologique est séparé si et seulement si, dans son carré , la diagonale (l'ensemble ) est un fermé.
'Démonstration'
Dire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble est ouvert. Les équivalences suivantes permettent de conclure :
est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à
pour tout , il existe et , ouverts de , tels que et , qui lui-même équivaut à
pour tous distincts, il existe et , ouverts de , tels que , et .