Topologie générale/Espace produit

Début de la boite de navigation du chapitre
Espace produit
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Ordre
Chap. suiv. :Dénombrabilité
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topologie générale : Espace produit
Topologie générale/Espace produit
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Topologie produit ».

Définition générale modifier


Cas d'un produit fini modifier

Si   est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas d'un produit d'espaces identiques modifier

Si tous les   (pour  ) sont égaux à un même espace topologique  , leur produit est noté  .

Une suite   d'éléments de   — c'est-à-dire d'applications de   dans   — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout  , la suite   (à valeurs dans  ) converge. C'est pourquoi cette topologie sur   est appelée la « topologie de la convergence simple ».

Puissance n-ième d'un espace modifier

Si   sont égaux à un même espace  , leur produit est noté  .

La topologie sur ℝn construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.

Plus généralement, si   est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur   coïncide avec celle associée à la norme   sur   définie par  . Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.

Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :