Topologie générale/Espace produit

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Définition générale

Définition

Soit $(X_{i},{\mathcal {T}}_{i})_{i\in I}$ une famille (non nécessairement finie) d'espaces topologiques, et $X$ le produit cartésien de la famille d'ensembles $(X_{i})_{i\in I}$. La topologie produit des ${\mathcal {T}}_{i}$ est la topologie sur $X$ dont une prébase est constituée des parties de $X$ de la forme $\prod _{i\in I}U_{i}$ où chaque $U_{i}$ est égal au $X_{i}$ correspondant, sauf l'un d'entre eux, qui peut être seulement un ouvert (de $X_{i}$).

Une base de cette topologie est donc constituée des parties de $X$ de la forme $\prod _{i\in I}U_{i}$ où chaque $U_{i}$ est égal au $X_{i}$ correspondant, sauf un nombre fini d'entre eux, qui peuvent être seulement des ouverts.

Remarque

Cette base d'ouverts est stable par intersections finies.

Cas d'un produit fini

Si $\left((X_{1},{\mathcal {T}}_{1}),\dots ,(X_{n},{\mathcal {T}}_{n})\right)$ est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :

$\{U_{1}\times \dots \times U_{n}\mid \forall i\in \left[\![1,n]\!\right]\quad U_{i}\in {\mathcal {T}}_{i}\}$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans $\mathbb {R} ^{2}$, $U:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|<1\}=\left]-1,1\right[\times \mathbb {R}$ et $V:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|\neq 1\}=\left(\mathbb {R} \setminus \{-1,1\}\right)\times \mathbb {R}$ font partie de la base d'ouverts,

ainsi que $U':=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |y|<1\}=\mathbb {R} \times \left]-1,1\right[$, $V':=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |y|\neq 1\}=\mathbb {R} \times \left(\mathbb {R} \setminus \{-1,1\}\right)$, $U\cap V'$, $V\cap V'$, etc.

L'ensemble $F:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus V$ est donc fermé, ainsi que $F':=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |y|=1\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus V'$ et $F\cap F'$.

Fin de l'exemple

Cas d'un produit d'espaces identiques

Si tous les $(X_{i},T_{i})$ (pour $i\in I$) sont égaux à un même espace topologique $(E,{\mathcal {T}})$, leur produit est noté $E^{I}$.

Une suite $\left(f(n)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ d'éléments de $E^{I}$ — c'est-à-dire d'applications de $I$ dans $E$ — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout $i\in I$, la suite $\left(f(n)_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ (à valeurs dans $E$) converge. C'est pourquoi cette topologie sur $E^{I}$ est appelée la « topologie de la convergence simple ».

Puissance n-ième d'un espace

Si $(X_{1},{\mathcal {T}}_{1}),\dots ,(X_{n},{\mathcal {T}}_{n})$ sont égaux à un même espace $(E,{\mathcal {T}})$, leur produit est noté $E^{n}$.

La topologie sur ℝⁿ construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.

Plus généralement, si $(E,\|\cdot \|)$ est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur $E^{n}$ coïncide avec celle associée à la norme $N$ sur $E^{n}$ définie par $N(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(\|x_{1}\|,\dots ,\|x_{n}\|)$. Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.

Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :

Proposition

Un espace topologique $X$ est séparé si et seulement si, dans son carré $X\times X$, la diagonale (l'ensemble $\{(x,x)\mid x\in X\}$) est un fermé.

Démonstration

Dire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble $O=\{(x,y)\in X\times X\mid x\neq y\}$ est ouvert. Les équivalences suivantes permettent de conclure :

$O$ est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à

pour tout $(x,y)\in O$, il existe $U$ et $V$, ouverts de $X$, tels que $(x,y)\in U\times V$ et $U\times V\subset O$, qui lui-même équivaut à

pour tous $x,y\in X$ distincts, il existe $U$ et $V$, ouverts de $X$, tels que $x\in U$, $y\in V$ et $U\cap V=\varnothing$.