Topologie générale/Espace produit

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Espace produit
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Chapitre no 5
Leçon : Topologie générale
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Définition généraleModifier


Cas d'un produit finiModifier

Si   est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas d'un produit d'espaces identiquesModifier

Si tous les   (pour  ) sont égaux à un même espace topologique  , leur produit est noté  .

Une suite   d'éléments de   — c'est-à-dire d'applications de   dans   — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout  , la suite   (à valeurs dans  ) converge. C'est pourquoi cette topologie sur   est appelée la « topologie de la convergence simple ».

Puissance n-ième d'un espaceModifier

Si   sont égaux à un même espace  , leur produit est noté  .

La topologie sur ℝn construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.

Plus généralement, si   est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur   coïncide avec celle associée à la norme   sur   définie par  . Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.

Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :