Trace et transposée de matrice/Définition de la trace d'un endomorphisme

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Dans cette leçon, tous les espaces vectoriels considérés sont supposés de dimension finie.

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Nous venons de voir que deux matrices semblables ont la même trace. Nous savons que les matrices associées à un endomorphisme dans des bases différentes sont semblables. Par conséquent, la trace de la matrice associée à un endomorphisme donné sera la même quelle que soit la base choisie. On peut donc donner la définition suivante :

Définition

La trace d’un endomorphisme est la trace de la matrice associée à cet endomorphisme dans une base quelconque.

Les propriétés rappelées précédemment se réécrivent en termes de traces d'endomorphismes :

Résumé des propriétés

$\forall f,g\in \mathrm {L} (E)\quad \forall \alpha ,\beta \in K\quad \operatorname {Tr} (\alpha f+\beta g)=\alpha \operatorname {Tr} (f)+\beta \operatorname {Tr} (g)$

$\forall f\in \mathrm {L} (E)\quad \operatorname {Tr} (^{t}f)=\operatorname {Tr} (f)$, où $^{t}\!f\in \mathrm {L} (E^{*})$ est l'application transposée de $f$, l'espace $E^{*}$ étant le dual de $E$.

$\forall f\in \mathrm {L} (E,F)\quad \forall g\in \mathrm {L} (F,E)\quad \operatorname {Tr} (f\circ g)=\operatorname {Tr} (g\circ f)$.